北京爱迪学校高二数学理上学期期末试卷含解析

北京爱迪学校高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β； ②若m?β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l； ③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β 其中真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】对3个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则根据平面与平面垂直的判定，可得α⊥β，正确； ②若m?β，n是l在β内的射影，m⊥n，则根据三垂线定理可得m⊥l，正确； ③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β或α，β相交，不正确． 故选C． 2. 若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（　　） A．a2＞ab＞b2 B．ac2＜bc2 C． D． 参考答案： A 【考点】不等关系与不等式． 【分析】利用不等式的基本性质可知A正确；B若c=0，则ac2=bc2，错；C利用不等式的性质“同号、取倒，反向”可知其错；D作差，因式分解即可说明其错． 【解答】解：A、∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2， ∴a2＞ab＞b2，故A正确； B、若c=0，则ac2=bc2，故不正确； C、∵a＜b＜0，∴＞0，∴，故错； D、∵a＜b＜0，∴＜0，∴，故错； 故答案为A． 3. 已知，且xy＝1，则的最小值是　　         （　　） 　　A．　　  B．　　  C．　　    D． 参考答案： C   解析：由已知得，所以 　　＝ 　　　　当且仅当，即时，取等号 　　　故当时，有最小值   4. 下列四个函数中，满足“对任意，当时，都有”的是 A．   B．     C． D． 参考答案： A 5. 下列命题中正确的是（     ）  A、的最小值是2 B、的最小值是2  C、的最大值是  D、的最小值是 参考答案： C 6. 复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（　　） A．的实部为﹣1 B．的虚部为﹣2i C．z?=5 D． =i 参考答案： C 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】计算=5，即可得出． 【解答】解： =（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5， 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 若命题为真，为真，则（    ） A．真真 B. 假假       C. 真假   D. 假 真 参考答案： D 略 8. 工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归直线方程为=50+80x，下列判断不正确的是（　　） A．劳动生产率为1000元时，工资约为130元 B．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系 C．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元 D．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元 参考答案： C 【考点】线性回归方程． 【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计． 【分析】根据线性回归方程=50+80x的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 【解答】解：根据线性回归方程为=50+80x，得； 劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B正确； 劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C错误； 当月工资为210元时，210=50+80x，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D正确． 故选：C． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目． 9. 已知函数f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），则（　　） A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣ C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为0 参考答案： D 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可． 【解答】解：f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1）， ∴f′（x）=xex﹣1﹣1， x＞0时， 令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1， 故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故f（x）极小值=f（1）=0， 故选：D． 10. 阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的S值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2017时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值，用裂项相消法求和即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： n=2017，k=1，S=0 执行循环体，S=0+，k=2； 满足条件k＜2017，执行循环体，S=0++，k=3； … 满足条件k＜2017，执行循环体，S=0+++…+，k=2017； 此时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值． 由于：S=0+++…+=×[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=（1﹣）=． 故选：A． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是　    　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质． 【分析】由题意可得，2b=a+c，平方可得4b2=a2+2ac+c2结合b2=a2﹣c2可得关于a，c的二次方程，然后由及0＜e＜1可求 【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c ∴4b2=a2+2ac+c2① ∵b2=a2﹣c2② ①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵ ∴5e2+2e﹣3=0 ∵0＜e＜1 ∴ 故答案为： 12. （几何证明选讲选做题） 如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=4，DC=1，则AD等于         ． 参考答案： 5 考点：与圆有关的比例线段． 专题：计算题． 分析：先连接OE，根据切线的性质得OE⊥BC．又AB⊥BC，DC⊥BC，O是AD中点，再根据梯形的中位线定理得出OE=（AB+DC），即可得出答案． 解答： 解：连接OE，∵BC切圆O于点E， ∴OE⊥BC．又∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥OE∥DC，又O是AD中点， ∴OE=（AB+DC）， ∴AD=2OE=5． 故答案为：5． 点评：本题考查的是切线的性质及中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出垂直关系进行解答． 13. 与圆关于直线l：对称的圆的标准方程为______． 参考答案： 【分析】 先求出圆C的圆心和半径，可得关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的圆心C′的坐标，从而写出对称的圆的标准方程． 【详解】圆 圆心， 设点C关于直线l：对称的点则有，即，解得，半径为，则圆C关于直线l：对称的圆的标准方程为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点关于直线对称的性质，关键是利用垂直平分求得点关于直线的对称点，属于中档题． 14. 用反证法证明命题“x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设为____________ 参考答案： x=a或x=b 略 15. 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x－4y－11＝0的距离为1的点的个数为________． 参考答案： 2 16. 设 , 是双曲线的焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，则点到的距离为______ 参考答案： 17. 设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3…），求通项=_________________。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设集合，． （1）求集合； （2）若不等式的解集为，求，的值． 参考答案： ，……………………………………    2分 ，……………………… 4分 （1）；……………………………ks5u ……………….       6分 （2）因为的解集为， 所以为的两根，………………………………………    8分 故，所以，．……………………………………. 10分     19. （2015?潮南区模拟）已知数列{an}中，a1=1，an+1= （I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列； （II）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n． 参考答案： 考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）设bn=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列． （Ⅱ）由bn=a2n﹣=﹣?（）n﹣1=﹣?（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2?（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足Sn＞0的所有正整数n． 解答： （Ⅰ）证明：设bn=a2n﹣，则=（）﹣=﹣， == ==， ∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bn=a2n﹣=﹣?（）n﹣1=﹣?（）n， ∴+， 由a2n=+3（2n﹣1）， 得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣?（）n﹣1﹣6n+， ∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9 =﹣2?（）n﹣6n+9， S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n） =﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n = =（）n﹣3（n﹣1）2+2． 由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减， 又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0， ∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣， 故当且仅当n=1时，S2n+1＞0， 综上所述，满足Sn＞0的所有正整数n为1和2． 点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用． 20. △ABC的三个内角A、B、C对边分别是a, b, c，且，，又△ABC的面积为. 求：（1）角C；  （2）a+b的值. 参考答案： （1）由已知：     ——————5分 （2）———————7分 又     ————————10分 21. （15分）圆内有一点P(-1,2),AB过点P, ①     若弦长，求直线AB的倾斜角； ②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程. 参考答案： 解：（1）当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1 与圆的交点坐标A（-1，），B（-1，-），则︱AB︱=（不符合条件）（2分） 当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为 圆心到直线AB的距离                        （4分） 又    ∴   即（6分） ∴ 直线AB的倾斜角为。                             （8分） （2）要满足圆上恰有三点到直线AB的距离等于，则圆心到这条直线的距离应为 （10分） 当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1  直线过圆心（不符合条件）（12分） 当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为