2022-2023学年山东省莱芜市方下中心中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知无穷等差数列的前n项和为，且,则 ( )
A．在中，最大 B．
C．在中，最大 D．当时，
参考答案：
D
2. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】CF：几何概型．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．
【解答】解：∵AB=2，BC=1，
∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，
圆的半径r=1，半圆的面积S=，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，
故选：B．
3. 已知向量，则下列结论正确的是
A. B. C. 与垂直 D.
参考答案：
C
【分析】
可按各选择支计算．
【详解】由题意，，A错；
，B错；，∴，C正确；
∵不存在实数，使得，∴不正确，D错，
故选C．
【点睛】本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．
4. 在边长为1的正三角形ABC中，设，，则?=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量加法及条件便有：，，由条件可得到三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可．
【解答】解：如图，根据条件：
=
===．
故选A．
【点评】考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，注意正确确定向量的夹角．
5. 有两只水桶，桶1中有升水，桶2是空桶. 现将桶1中的水缓慢注入桶2中，分钟后桶1中剩余的水符合指数衰减曲线，桶2中的水就是(为常数)，假设5分钟时，桶1和桶2中的水量相等. 从注水开始时，经过分钟时桶2中的水是桶1中水的3倍，则
A. 8 B. 10 C. 15 D. 20
参考答案：
B
6. 已知函数则的值为( )
A． B．4 C．2 D．
参考答案：
A
7. 下列叙述中正确的是( )
A．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
B．棱台的底面是两个相似的正方形
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
参考答案：
C
略
8. 方程表示的直线可能是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】直线的斜截式方程．
【分析】对a分类讨论，利用斜率与截距的意义即可判断出结论．
【解答】解：由方程表示的直线，当a＞0时，斜率k=a＞0，在y轴上的截距=﹣＜0，都不符合此条件．
当a＜0时，斜率k=a＜0，在y轴上的截距=﹣＞0，只有C符合此条件．
故选：C．
9. 三棱锥的侧棱长和底面边长都相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为（ ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
B
略
10. 在区间上不是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆O：x2+y2=4，直线l：mx﹣y+1=0与圆O交于点A，C，直线n：x+my﹣m=0与圆O交于点B，D，则四边形ABCD面积的最大值是 ．
参考答案：
7
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】先确定直线m，n恒过定点M（0，1），圆心O（0，0），半径R=2，AC2+BD2为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．
【解答】解：由题意可得，直线m，n恒过定点M（0，1），圆心O（0，0），半径R=2，
设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE2+OF2=OM2=1，
∴AC2+BD2=4（8﹣OE2﹣OF2）=28，
∴S2≤AC2?BD2=AC2?（28﹣AC2）≤=49，
∴S≤7，当且仅当AC2=28﹣AC2，即AC=时，取等号，
故四边形ABCD面积S的最大值为7．
故答案为：7．
12. 首项为3，公差为2的等差数列，前n项和为，则= 。
参考答案：
13. 已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点 .
参考答案：
解析：f(3)=－1 y=f(x)的图象经过点(3,－1) y=g(x)的图象经过点(－1,3) g(－1)=3 g(0－1)=3 y=g(x)的图象经过点(0,3).
14. 已知函数满足：对于实数a的某些值，可以找到相应正数b，使得f（x）的定义域与值域相同，那么符合条件的实数a的个数是 ．
参考答案：
2
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】由于函数解析式中，被开方式是一个类一元二次式，故我们可分a=0，a＞0和a＜0，三种情况，分别分析是否存在正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同，进而综合讨论结果，即可得到答案．
【解答】解：（1）若a=0，则对于每个正数b，f（x）=的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件．
（2）若a＞0，则对于正数b，的定义域为D=（﹣∞，﹣]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A?[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；
（3）若a＜0，则对正数b，定义域D=[0，﹣]，（f（x））max=，
f（x）的值域为[0，]，则﹣=?．
综上所述：a的值为0或﹣4．
故答案为2．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键，解答中易忽略a=0时，也满足条件，而错解为a=﹣4．
15. 设，则= ．
参考答案：
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数的解析式求法函数值即可．
【解答】解：，则=cos+2f（）=+4f（）=cos=．
故答案为：．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
16. 的定义域为________
参考答案：
17. 正方体的表面积与其内切球表面积的比为 .
参考答案：
6：∏
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆C的圆心在x的正半轴上，半径为5，圆C被直线x－y+3=0截得的弦长为2．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）直线ax－y+5=0与圆C相交于A，B两点，且圆心C在的以AB为直径的内部，求实数a的取值范围。
参考答案：
解：（Ⅰ）设圆心为，由条件知圆心到直线距离 ------------3分
或（舍去）
圆的方程是 -------------7分
（Ⅱ）由条件知直线与圆C相交
圆心C到直线的距离小于半径即 ...①-----9分
圆心C在以为直径的圆的内部即为钝角或平角，设
则
.....②
由①②可得的取值范围是 ------------15分
19. 设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A，那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由；
①f(x)=log2x，x＞0，x=g(t)=t+，t＞0；
②f（x）=x2﹣x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R．
（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g(t)=是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m、n的值．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（1）在①中，函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞）；在②中，f（x）的值域为，y=f[g（t）]的值域仍为．
（2）由已知得的值域为[2，8]，，由此能求出实数m、n的值．
【解答】解：（1）在①中，∵，
∴函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞），
故①不是等值域变换，
在②中，，即f（x）的值域为，
当t∈R时，，即y=f[g（t）]的值域仍为，
∴x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，故②是等值域变换．
（2）f（x）=log2x定义域为[2，8]，因为x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，
且函数y=f[g（t）]的定义域为R，
∴的值域为[2，8]，
，
∴恒有，
解得．
20. 已知圆，直线，．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．
参考答案：
(1)见解析；(2)2x-y-5=0
【详解】由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.
则
解得
∴直线l恒过定点A(3,1)．
因为，
所以点A在圆的内部，
所以直线与圆恒交于两点
（2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，
由，得l的方程为y－1＝2(x－3)，
即2x－y－5＝0.
21. 某公园内有一块以O为圆心半径为20米圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中，，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求）.设，.
（1）当时求舞台表演区域的面积；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
参考答案：
（1）平方米（2）对于任意α，上述设计方案均能符合要求，详见解析
【分析】
（1）由已知求出的弧度数，再由扇形面积公式求解；（2）过作垂直于，垂直为，可求，，由图可知，点处观众离点处最远，由余弦定理可得，由范围，利用正弦函数的性质可求，由，可求上述设计方案均能符合要求．
【详解】（1）当时，
所以舞台表演区域的面积平方米
（2）
作于H，则
在中，
因为，所以当时，
所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
22. 已知函数f(x)＝ (a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：解法一：设2
a恒成立．又x1x2>4，则00)的递增区间是，根据已知条件，解得0
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