内蒙古自治区赤峰市克什克腾旗上头地乡中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数”，上面推理错误的是（ ）
A.大前提错导致结论错误 B.小前提错导致结论错误
C. 推理形式错导致结论错误 D. 大前提和小前提都错导致结论错误
参考答案：
A
略
2. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A.5，10，15，20 B.2，6，10，14 C.2，4，6，8 D.5，8，11，14
参考答案：
A
3. 的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为（ ）
A．－150 B．150 C. －500 D． 500
参考答案：
B
4. 椭圆+=1的焦距是2，则m的值是：
A．35或37 B．35 C．37 D．16
参考答案：
A
5. 如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，是的极大值点
B. ，是的极小值点
C. ，不是的极值点
D. ，是是的极值点
参考答案：
B
【分析】
由图判断函数的单调性，结合为在点P处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.
【详解】由题得，当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，
则有是的极小值点，故选B.
6. 光线从点A（－2，1）射到x轴后反射到B（4，3）则光线从A到B经过的总路线为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．
【解答】解：因为复数z的共轭复数，
所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．
z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D．
8. 在四边形ABCD中，其中不共线，则四边形ABCD是
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
参考答案：
A
9. 已知数列{an}的前n项和，则（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
∵当时，，当时
∴
∴首项，公比
故选C
10. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
A
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，
所以，所以当n=6时，Sn取最小值．
故选A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ▲ ．
参考答案：
略
12. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．
参考答案：
13. 点（﹣1，2）到直线y=x﹣1的距离是 ．
参考答案：
2
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点（﹣1，2）到直线x﹣y﹣1=0的距离d==2．
故答案为：2．
14. 求函数的单调减区间为__________．
参考答案：
15. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件 时，有MN∥平面B1BDD1．
参考答案：
M∈FH
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】根据平面FHN∥平面B1BDD1，可知平面FHN内任意一条直线都与平面B1BDD1平行，而点M在四边形EFGH上及其内部运动，所以M满足条件M∈FH．
【解答】解：∵HN∥DB，FH∥D1D，
∴面FHN∥面B1BDD1．
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动
故M∈FH．
故答案为M∈FH
16. 曲线y＝x2－1与x轴围成图形的面积等于________
参考答案：
17. 用反证法证明命题：“若，则”时，应首先假设“_______ ___ _____”成立．
参考答案：
a，b中至少一个不为0
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某班要从6名男生4名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数（结果用数字作答）．
（1）所安排的男生人数不少于女生人数；
（2）男生甲必须是课代表，但不能担任语文课代表；
（3）女生乙必须担任数学课代表，且男生甲必须担任课代表，但不能担任语文课代表．
参考答案：
（1）
（2）
（3）
19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若，△ABC的周长为，求△ABC的面积．
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：
即：
，由得：
（2），的周长为
由余弦定理可得：
的面积：
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.
20. 已知函数
(1)若，当时，求g(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）的单调增区间为，的单调减区间为(0,1)，（2）实数的取值范围为。
【分析】
（1）对函数求导，把代入导函数中，利用导函数求出的单调区间；
（2）函数有唯一的零点等价于方程有唯一实数根，利用导数研究函数与 的交点即可求出实数的取值范围。
【详解】（1）由题可得：，定义域为，
，
，
令得：或（舍去）
令得：或，结合定义域得：
令得：，结合定义域得：
的单调增区间为，的单调减区间为，
（2）函数有唯一的零点等价于只有唯一的实数根，
显然，则只有唯一的实数根等价于关于的方程有唯一实数根，
构造函数 ，则，
令，解得： ，
令，解得：，则函数在上单调递增；
令，解得：，则函数在上单调递减；
的极小值为，
如图，作出函数的大致图像，则要使方程只有唯一实数根，只需要直线与曲线只有唯一交点，
或，解得：或，
故实数的取值范围为
【点睛】本题主要考查利用函数的导数求函数的单调性以及函数零点的定义，考查学生转化与划归的思想，属于较难题目。
21. 如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．由线面平行的判定定理可以证出结论．用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全．
（Ⅱ）建立空间坐标系设点E（x，1，0），求出用E的坐标表示的平面PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），
设BE=x（0≤x≤），则E（x，1，0），
设平面PDE的法向量为=（p，q，1），
由，得，
令p=1，则=（1，﹣x，）．
而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°===，
解得BE=x=或BE=x=＞（舍）．
故BE=时，PA与平面PDE所成角为45°．
【点评】考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标，用线的方向向量的内积为0证线线垂直，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直．此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路．
22. 设函数，若函数在处与直线相切.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的上的最大值.
参考答案：
（1）；（2）.
试题分析：(1)通过对求导，利用函数在处与直线相切，通过联立方程组，计算即可得到结论；
(2)通过可知，，通过讨论在上
的正负可知函数单调性，进而得到结论。
解析：(1)f′(x)＝－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴ 解得
(2)由(1)知，f(x)＝lnx－x2， f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，
令f′(x)<0，得1
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