2022-2023学年江苏省扬州市中学教育集团树人学校高一数学理月考试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市中学教育集团树人学校高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的部分图象，如图所示，则φ=（） A． B． C． D． 参考答案： B 考点： 正弦函数的图象． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 由题意1=sin（2×+φ），可解得：φ+=2k，k∈Z，根据0＜φ＜π，即可解得φ的值． 解答： ∵由图象可知，点（，1）在函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象上， ∴1=sin（2×+φ）， ∴可解得：φ+=2k，k∈Z， ∵0＜φ＜π， ∴φ=， 故选：B． 点评： 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题． 2. 设为非零实数，则的所有值组成的集合为（   ）. A.             B.          C.           D. 参考答案： C 略 3. 点P在直线上运动，，，则的最小值是（   ） A. B. C. 3 D. 4 参考答案： C ∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（2，3）， ∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|， 当P、A′、B三点共线时， |PA|+|PB|取得最小值|A′B|==3． 故选：C． 4. 若的两个较小内角A，B满足，则有   （　　）     A、A+B>90°　　    B、A+B<90°　      C、A+B=90°      D、以上情况均有可能 参考答案： C 5. 已知一个等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则第项为（    ） A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 参考答案： B 【分析】 分别用a1，a2n+1表示出奇数项之和与所有项之和，两者相比等于进而求出n． 【详解】解：∵奇数项和， ∵数列前2n+1项和 ∴ ∴n＝9 ∴n+1＝10 又因为， 所以===2 =29 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列中的求和公式．熟练记忆并灵活运用求和公式，是解题的关键． 6. 下列命题中正确的是（　　） A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等 C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同 参考答案： C 【考点】象限角、轴线角． 【专题】证明题． 【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断． 【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A不对； B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对； C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确； D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对． 故选C． 【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断． 7. 已知数列对任意的满足，且，那么等于（      ） A．   B．   C． D． 参考答案： C 8. 如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交⊙O于点D。若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是(   　) 　　A.6　　 　　 B.9-　 　　 　C. 　　 　　D.25-3 参考答案： C 9. 若，且，则函数  （    ） A． 且为奇函数          B．且为偶函数 C．为增函数且为奇函数           D．为增函数且为偶函数 参考答案： A 10. 已知平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则|2﹣3|=（　　） A． B． C．57 D．61 参考答案： B 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】利用本题主要考查两个向量的数量积的定义求得的值，再根据|2﹣3|=，计算求得结果． 【解答】解：平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则=2?3?cos=3， 则|2﹣3|====． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）= ，x∈[3，5]，则函数f（x）的最小值是                  。 参考答案： 1 12. 下列四种说法中，其中正确的是      （将你认为正确的序号都填上） ①奇函数的图像必经过原点； ②若幂函数是奇函数，则在定义域内为减函数； ③函数，若，则在区间上是增函数； ④用表示三个实数中的最小值，设，则函数的最大值为6。 参考答案： ③④ 13. 方程的解是_____________。 参考答案：     解析： 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别为，则边上高所在的直线方程为　　▲　　． 参考答案： 15. 已知，则的值等于___ ______． 参考答案： 18    略 16. 已知集合A＝｛1，2，3，x｝，B＝｛3，x2｝，且A∪B＝｛1，2，3，x｝，则x的值为____． 参考答案：  －1，0，±  17. 已知不等式的解集为{x|—5则a+b=           . 参考答案： -1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）． （Ⅰ）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系，求出sinα、cosα的值，再计算f（α）的值； （Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期和单调减区间． 解：（Ⅰ）∵0＜α＜，且sinα=， ∴cosα=， ∴f（α）=cosα（sinα+cosα） =××（+） =；… （Ⅱ）函数f（x）=cosx（sinx+cosx） =（cosxsinx+cos2x） =sin2x+cos2x+ =sin（2x+）+，… ∴f（x）的最小正周期为π； 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， ∴函数f（x）的单调减区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．… 19. 已知点，直线的方程为． (1)求过点D（0，1）且与垂直的直线的方程； （2）求点到直线的距离． ks5u 参考答案： 解：（1）， …（2分）          则所求直线的斜率为：………………………………………（4分） 又的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为： …………………………………………（7分）             （2）直线的方程为：           则点到直线：的距离为： 略 20. 经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、． （1）求轨迹的方程； （2）证明：； （3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程。 参考答案： （1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，． 整理，得．所以轨迹的方程为 方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线． 且其中定点为焦点，定直线为准线． 所以动圆圆心的轨迹的方程为． （2）由（1）得即，则． 设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为． 由题意知点．设点，， 则， 即． 因为，． 由于，即． 所以． （3）方法1：由点到的距离等于，可知． 不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：． 由 解得点的坐标为． 所以． 由（2）知，同理可得． 所以△的面积， 解得． 当时，点的坐标为，， 直线的方程为，即． 当时，点的坐标为，， 直线的方程为，即． 方法2：由点到的距离等于，可知． 由（2）知，所以，即． 由（2）知，． 所以． 即．        ① 由（2）知．           ② 不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得 因为， 同理．  以下同方法1． 21. 某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 [70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120). （1）求图中m的值； （2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分； （3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在[90,120)的人数. 分数段 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) 1:2 2:1 6:5 1:2 1:1     参考答案： （1）（2）93分（3）140人 【分析】 （1）在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，由此可得； （2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即为估计平均数； （3）求出这200名学生的数学成绩在，，的人数，然后计算出各分数段的英语人数即可． 【详解】（1）由，解得. （2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为 . （3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，所以英语成绩在的有140人. 【点睛】本题考查频率分布直方图，解题时注意频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，估值时常用小矩形底边中点横坐标作为此矩形的估值进行计算. 22. （12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点． （1）证明：DN∥平面PMB； （2）证明：平面PMB⊥平面PAD； （3）求点A到平面PMB的距离． 参考答案： 考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算． 专题： 证明题；综合题． 分析： （1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题； （2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明； （3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解． 解答： （1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ， 因为M、N分别是棱AD、PC中点， 所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ． ?DN∥平面PMB．   （2）?PD⊥MB 又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点， 所以MB⊥AD． 又AD∩PD=D， 所以MB⊥平面PAD.?平面PMB⊥平面PAD．   （3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离． 过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB． 故DH是点D到平面PMB的距离.． ∴点A到平面PMB的距离为