2022-2023学年广西壮族自治区河池市北牙乡中学高二数学文联考试卷含解析

2022-2023学年广西壮族自治区河池市北牙乡中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p：?n∈N，n+＜4，则?p为（　　） A．?n∈N，n+＜4 B．?n∈N，n+＞4 C．?n∈N，n+≤4 D．?n∈N，n+≥4 参考答案： D 【考点】命题的否定． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可． 【解答】解：命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为： ?n∈N，n+≥4， 故选：D． 2. 若实数x、y满足不等式组则的取值范围是（    ） A.［-1，］        B.［］        C.［，+∞)       D.［，1) 参考答案： D 3. 已知△ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心O到△ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任意一点，则P-ABC三棱锥的体积的最大值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 设外接圆的圆心为，则平面，所以，设外接圆的半径为，，利用正弦定理即可求得：，再利用截面圆的性质可列方程：，即可求得，即可求得点到平面的距离的最大值为，利用余弦定理及基本不等式即可求得：，再利用锥体体积公式计算即可得解。 【详解】设外接圆的圆心为，则平面，所以 设外接圆的半径为，， 由正弦定理可得：，解得： 由球的截面圆性质可得：，解得： 所以点到平面的距离的最大值为：. 在中，由余弦定理可得： 当且仅当时，等号成立，所以. 所以，当且仅当时，等号成立. 当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大. 所以三棱锥的体积的最大值为 故选：C 【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质，还考查了转化思想及正、余弦定理应用，考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式，还考查了计算能力及空间思维能力，属于难题。 4. 已知正方形ABCD的边长为2， H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为 A． B． C． D． 参考答案： B 略 5. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知a=4，B=60°，C=75°，则b=（　　） A．2 B．2 C．2 D． 参考答案： B 【考点】余弦定理． 【分析】方法一，根据直角三角形的有关知识即可求出， 方法二，根据正弦定理即可求出． 【解答】解：法一：过点C作CD⊥AB， ∵B=60°，C=75°， ∴A=45°， ∴AD=CD， ∵BC=a=4，B=60°， ∴CD=asin60°=2， ∴b=AC==2， 法二：∵B=60°，C=75°， ∴A=45°， 由正弦定理可得=， ∴b===2， 故选：B 　 6. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．至少有1个白球；都是白球 B．至少有1个白球；至少有1个红球 C．恰有1个白球；恰有2个白球 D．至少有一个白球；都是红球 参考答案： C 【考点】互斥事件与对立事件． 【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断． 【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对； B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对； C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对； D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对； 故选C． 7. 原点和点（1，1）在直线两侧，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 参考答案： B 8. 已知圆的标准方程为，则此圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．   B． C．     D． 参考答案： A 9. 已知x＞0，y＞0，x+y+=2，则x+y的最小值是（　　） A． B．1 C． D． 参考答案： C 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】利用基本不等式，结合条件，即可得出结论． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y+=2， ∴由基本不等式可得x+y+=2≤x+y+， ∴x+y≥． 故选：C． 【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是解题的关键． 10. 用反证法证明“如果，那么”时，反证假设的内容应是（  ）                       A.                   B. C.或     D. 且 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设S为复数集C的非空子集.若对任意，都 有，则称S为封闭集.下列命题： ①  集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集； ②  若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.   其中真命题是                  （写出所有真命题的序号） 参考答案： ①② 略 12. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是__________。 参考答案： x+2y-8=0  13. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足，则长轴长的取值范围是______． 参考答案： 【分析】 将用表示出来，然后根据的范围求解即可得到结论． 【详解】∵b＝1， ∴， 又， ∴， ∴，整理得， 解得． ∴， ∴长轴长的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用和间的关系，属于基础题． 14. 设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为　　． 参考答案： 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】作出f（x）的函数图象，根据图象的对称性得出结论． 【解答】解：作出f（x）在[0，]上的函数图象如图所示： 由图可知：x1，x2关于直线x=对称，x2，x3关于直线x=对称， ∴x1+x2=，x2+x3=， ∴x1+2x2+x3==． 故答案为：． 15. 不等式的解集是 参考答案： (-1,3] 略 16. 如果AC＜0，BC＞0，那么直线不通过第_____________象限; 参考答案： 略 17. 已知单位向量和的夹角为，则=           . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 已知复数，=2，是虚部为正数的纯虚数。 （1）求的模；（2）求复数。 参考答案： 解：（1）||=||||=||||=8； （2）是虚部为正数的纯虚数 ∴= === 设复数=（）       解之得或 ∴ 略 19. 参考答案： (2)∵平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC  又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC  ……9分 又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB  ∴BC⊥平面SAB 又∵SA平面SAB∴BC⊥SA   ……12分 略 20. 如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线 （1）求证：QC2﹣QA2=BC?QC （2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明． 【分析】（1）由切线定理得QA2=QB?QC，由此能证明QC2﹣QA2=BC?QC． （2）由弦切角定理和角平分线性质得QC2=QA2=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的长度． 【解答】证明：（1）∵QA为⊙O的切线， ∴QA2=QB?QC， ∵QC﹣QB=BC， ∴QC2﹣QA2=QC2﹣QB?QC=BC?QC． 解：（2）∵QA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠ABC， ∵AC恰好为∠BAP的平分线，∴∠BAC=∠ABC， ∴AC=BC=15， ∴QC2=QA2=15QC，① 又由△QCA∽△QAB，得，② 联合①②，消掉QC，得：QA=18． 【点评】本题考查两线段平差等于两线段积的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线定理、弦切角定理的合理运用． 21. 已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0． （1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值； （2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；  （2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1． 利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx， ∴，其定义域为（0，+∞）， ∴．        ∵x=1是函数h（x）的极值点， ∴h′（1）=0，即3﹣a2=0． ∵a＞0，∴．                                         经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点， ∴； （2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于 对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max． 当x∈[1，e]时，． ∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数． ∴[g（x）]max=g（e）=e+1． ∵，且x∈[1，e]，a＞0． ①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，， ∴函数在[1，e]上是增函数， ∴． 由1+a2≥e+1，得a≥， 又0＜a＜1，∴a不合题意； ②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则， 若a＜x≤e，则． ∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数． ∴[f（x）]min=f（a）=2a． 由2a≥e+1，得a≥， 又1≤a≤e，∴≤a≤e； ③当a＞e且x∈[1，e]时，， ∴函数在[1，e]上是减函数． ∴． 由≥e+1，得a≥， 又a＞e，∴a＞e； 综上所述：a的取值范围为． 22. 已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4． （Ⅰ）求a+b的值； （Ⅱ）求的最小值． 参考答案： 【考点】RK：柯西不等式在函数极值中的应用． 【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合条件求a+b的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b， 当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得． 即，当且仅当，即时，等号成立． 所以