湖南省娄底市涟源仙洞中学高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ ）年后需要更新设备.
A. 10 B. 11 C. 13 D. 21
参考答案：
A
由题意可知年的维护费用为，所以年平均污水处理费用为，由均值不等式得，当且仅当，即时取等号，所以选A.
2. 已知函数(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 ( ）
A．0
B．<
C． D．
参考答案：
B
10. 若（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．253 D．126
参考答案：
C
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值1即可求得a1+a2+…+a8的值．
【解答】解：∵（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，
∴a8=2?C77?（﹣2）7=﹣256．
令x=1得：（1+2）（1﹣2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3，
∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253．
故选：C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：
(1)函数f(x)是周期函数；
(2)函数f(x)的图象关于点对称；
(3)函数f(x)为R上的偶函数；
(4)函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
参考答案：
(1)(2)(3)
12. 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 .
参考答案：
180
13. 若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．
参考答案：
【知识点】向量的夹角 F3
解析：，即，所以，
，的夹角为，故答案为.
【思路点拨】由可得，所以夹角为.
14. 如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于
点，，则的长为 ．
参考答案：
15. “黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是
参考答案：
16. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为 ．
参考答案：
17. 已知直线上的三点，向量满足，则函数的表达式为
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分) 已知椭圆C：经过点 ，离心率 ，直线的方程为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案：
（1）由点在椭圆上得， ① ②
由 ①②得，故椭圆的方程为……………………..4分
（2）假设存在常数，使得.
由题意可设 ③
代入椭圆方程并整理得
设，则有 ④ ……………6分
在方程③中，令得，，从而
.又因为共线，则有，
即有
所以
= ⑤
将④代入⑤得，又，
所以
故存在常数符合题意……………………………………………………………12分
19. （本小题满分12分）
如图，四边形与都是边长为的正方形，点E是的中点，
(1) 求证：平面BDE；
(2) 求证：平面⊥平面BDE
(3) 求体积与的比值。
参考答案：
（本题满分12分）证明：（1）设BD交AC于M，连结ME．
ABCD为正方形，所以M为AC中点，
E为的中点ME为的中位线
平面BDE． ……4分
（2） ……6分
（3）
略
20. (本题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 若为函数的零点，求的值；
(Ⅱ) 求的极值；
(Ⅲ) 证明：对任意正整数n，.
参考答案：
(Ⅰ) 解：因为，所以，
解得.
(Ⅱ) ，
令，得，或，又的定义域为.
①当，即时，若，则，递增；若，则，递减；所以，无极小值.
②当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减；
所以， .
③当，即时，，在内递减，无极值.
④当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减；
所以，.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，在上递减，∴，即，
∵，∴，
∴ ，
∴.
21. （本小题满分12分）
已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合
（Ⅰ）求集合，；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
参考答案：
（１）集合：， 解得：或
集合Ｂ：图象单调递增，，则 ..….8分
（２），由，结合数轴，或，
解得或． ..….13分
22. 选修4-2：矩阵与变换
设矩阵．
（I）若，求矩阵M的逆矩阵；
（II）若曲线C：在矩阵M的作用下变换成曲线：，
求的值．
参考答案：
解：（I）当时，的行列式，
故所求的逆矩阵.
（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点
，则，即
又点在曲线上，所以，则，
即为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为，
比较系数可得，解得，∴.
