湖南省娄底市柘古中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析

湖南省娄底市柘古中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则＝（  ） A．          B．           C．         D． 参考答案： A 略 2. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是（    ） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能 参考答案： B ∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC． 又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1. 又AB∥A1B1，∴DE∥AB． 考点：线面平行的性质. 3. （5分）设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（） A． ??A B． ?A C． ∈A D． ?A 参考答案： B 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 集合思想． 分析： 根据题意，易得集合A的元素为全体大于﹣1的有理数，据此分析选项，综合可得答案． 解答： ∵集合A={x∈Q|x＞﹣1}， ∴集合A中的元素是大于﹣1的有理数， 对于A，“∈”只用于元素与集合间的关系，故A错； 对于B，不是有理数，故B正确，C错，D错； 故选：B． 点评： 本小题主要考查元素与集合关系的判断、常用数集的表示等基础知识，考查了集合的描述符表示以及符号的运算求解能力．属于基础题． 4. 在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 参考答案： C 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosB?sinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题． 【解答】解析：∵2cosB?sinA=sinC=sin（A+B）?sin（A﹣B）=0， 又B、A为三角形的内角， ∴A=B． 答案：C 　 5. 设，则的大小关系是（      ） A．     B．    C．     D． 参考答案： A 6. 在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 参考答案： D 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的数量积公式和余弦定理，求出b2+c2=80，再利用基本不等式得出bc的最大值，写出△ABC的面积，求其最大值即可． 【解答】解：△ABC中，， 设A、B、C所对边分别为a，b，c， 则c?b?cosA=a=8①； 所以△ABC的面积为： S△ABC=bcsinA=bc=bc=， 由余弦定理可得b2+c2﹣2bc?cosA=a2=64②， 由①②消掉cosA得b2+c2=80， 所以b2+c2≥2bc， bc≤40，当且仅当b=c=2时取等号， 所以S△ABC=≤=8， 所以△ABC面积的最大值为8． 故选：D． 7. 函数是（   ） A.奇函数，在区间 (0,+∞) 上单调递增       B. 奇函数，在区间 (0,+∞) 上单调递减    C. 偶函数，在区间 (－∞,0) 上单调递增      D. 偶函数，在区间 (－∞,0) 上单调递减 参考答案： A 8. 设等差数列{}满足：，且其前项的和有最大值，则当数列{}的前项       的和取得最大值时，此时正整数的值是 A．11             B．12               C．22                D．23 参考答案： C 9. 如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（　　） A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1 参考答案： D 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可． 【解答】解：根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素， 可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根， ①a=0，，满足题意； ②a≠0时，则应满足△=0， 即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0 解得a=﹣1． 所以a=0或a=﹣1． 故选：D． 10. 已知实数满足，则的最大值为（   ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 6 参考答案： D 【分析】 设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线距离之和有关. 【详解】设，， 均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为， 点在圆上，设到直线的距离分别为， ， ，. 【点睛】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以下各说法中： ①若等比数列{an}的前n项和为，，则实数a= -1；  ②若两非零向量，若，则的夹角为锐角； ③在锐角△ABC中，若，则， ④已知数列{an}的通项，其前n项和为Sn，则使Sn最小的n值为5. 其中正确说法的有________ （填写所有正确的序号） 参考答案： ①③④ 【分析】 利用数列，向量的定义和性质以及三角函数的知识结合锐角三角形的基本性质逐个验证即可得出答案。 【详解】对于①，由于等比数列的前项和为，，所以 ，，，根据等比中项可得，解得：；故①正确 对于②若两非零向量，，若，根据向量数量积的定义可得，的夹角为锐角或同向共线，故②错误； 对于③，由于为锐角三角形，则 ，所以有 ， 解得，故③正确 对于④，数列的通项可得：，，，，，，从第6项开始，，所以使最小的值为5，故④正确。 【点睛】本题主要考查数列前项和与通项公式的关系，向量的数量积以及三角函数知识结合锐角三角形性质等知识，属于中档题。 12. 如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点，其距离为100米，然后在A处测得，在B处测得，，则此建筑物CD的高度为__________米. 参考答案： 【分析】 由三角形内角和求得，在中利用正弦定理求得；在中，利用正弦的定义可求得结果. 【详解】由题意知： 在中，由正弦定理可得： 即： 在中， 本题正确结果： 【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题. 13. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝，B B1＝2， ∠ABC＝90°，E、F分别为A A1，C1 B1的中点，沿棱柱表面，从E到F的最短路径的长为_________。 参考答案： 略 14. 函数f（x）=ln（x+2）﹣的零点所在区间是（n，n+1），则正整数n=　    　． 参考答案： 1 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由于本题是填空题，求的又是正整数，所以可以用特殊值法来解．代入1即可． 【解答】解：因为n是正整数，所以可以从最小的1来判断， 当n=1时，f（1）=ln（1+2）﹣2=ln3﹣2＜0，而f（2）=ln（2+2）﹣1＞0， 所以n=1符合要求． 又因为f（x）=ln（x+2）﹣， 所以f'（x）=+=在定义域内恒大于0，故原函数递增， 所以当n＞2时，f（n）＞f（2）＞0，即从2向后无零点． 故答案为 1． 【点评】本题考查了函数零点的判定定理．在解题过程中用了填空题和选择题的特有解法；特殊值法． 15. 已知数列{an}满足，，则             。 参考答案：        16. 已知集合A={m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】元素与集合关系的判断． 【分析】根据集合元素的特征，即可求出． 【解答】解：∵集合A={m+2，2m2+m}，若3∈A， ∴m+2=3，且2m2+m≠3，或m+2≠3，且2m2+m=3， 解得m=1，或m=﹣， 当m=1时，∴m+2=3，2m2+m=3，故1舍去， 故答案为：﹣ 【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题． 17. 函数的值域为___________ 参考答案： [0,6] 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）计算： （1）； （2）. 参考答案： （Ⅰ）   -------- 7分    （Ⅱ），即 则或，即或 ------------------- 14分 19. 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为以a、b、c，．   ( I )求B的大小；    (Ⅱ)若，求b． 参考答案：   略 20. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 参考答案： 略 21. 已知函数=是奇函数. ⑴ 求实数的值； ⑵ 判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明； ⑶ 对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：⑴ ∵=是奇函数, ∴对任意R, 有=-                                ∴）.                      ∴. ∴                                                                                  ⑵在R上是增函数,证明如下：                           =. 设、∈R且＜， = ∵＜，∴＞， ∴＞0, 即＞， ∴在R上是增函数.                              ⑶ 对任意的实数，不等式恒成立， 则只要＜                             ∵+1＞1,  ∴0＜＜1,  ∴-1＜-＜0 , ∴-＜-＜, 即 ＜＜， ∴， ∴.                                             故所求实数的取值范围是    略 22. （Ⅰ）已知，，求的最小值。 （Ⅱ）已知，求证：。 参考答案： 解:（Ⅰ） ……  5分 当且仅当时取等号, 故的最小值是…… 7分 （Ⅱ）证明：∵ ∴…12分 ∴……… 14分 略