湖南省邵阳市牛矿第二子第学校2023年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省邵阳市牛矿第二子第学校2023年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为   （    ） A．      B． C．        D． 参考答案： A 2. 函数的最大值为(▲) A．                  B．                C．             D． 参考答案： A 略 3. 已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】根据双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b2=c2﹣a2化简整理，得e4﹣3e2+1=0，解之得e2==（）2，从而得到双曲线M的离心率e=． 【解答】解：∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：，其中b＞a＞0， ∴两个双曲线的焦距相等，设其焦距为2c，其中c满足： ∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点， ∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得 ，结合b2=c2﹣a2得：， 去分母，得c2（c2﹣a2）﹣a2c2=a2（c2﹣a2）， 整理，得c4﹣3a2c2+a4=0，所以e4﹣3e2+1=0，解之得e2==（）2（另一值小于1舍去） ∴双曲线M的离心率e= 故选A 【点评】本题给出两个形状相同，但焦点分别在x、y上的双曲线，它们的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质与基本概念，属于中档题． 4. 已知函数是周期为4的函数， 其部分图象如右图，给出下列命题： ①是奇函数；                ②的值域是； ③关于的方程必有实根； ④关于的不等式的解集非空. 其中正确命题的个数为(       ) A．4        B．3        C．2        D．1                    参考答案： B 略 5. 给出下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为假命题； ②命题．则，使； ③“”是“函数为偶函数”的充要条件； ④命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题． 其中正确的个数是（　　） ．                                    ．     ．             ．  参考答案： B ①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知，②为真.③当函数为偶函数时，有，所以为充要条件，所以③正确.④因为的最大值为，所以命题为假命题，为真，三角函数在定义域上不单调，所以为假命题，所以为假命题，所以④错误.所以正确的个数为2个，选B. 6. 定义在R上的奇函数满足对任意的x有且，则等于                                          A．-1               B．0                C．1                D．2 参考答案： C 7. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为                                     （    ）        A．1                        B．5                        C．                  D． 参考答案： D 略 8. 函数的零点个数为（   ） A. 1 B.2 C. 3 D.4 参考答案： B 略 9. 已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)． A．是奇函数                        B．是偶函数 C．是非奇非偶函数                  D．既是奇函数又是偶函数 参考答案： A 10. 若复数z满足方程Z2 +2 =0，则z=（  ）   A．    B．    C．    D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数满足：，，则=__    ． 参考答案：   12. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是　　． 参考答案： ﹣1+i 考点： 复数代数形式的乘除运算．  专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 解答： 解：由复数的几何意义可知：z1=2i，z2=1﹣i． ∴===﹣1+i． 故答案为：﹣1+i． 点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 13. d . 参考答案： 。 14. 若x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为__________． 参考答案： 9 作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.   15. 已知定义在上的函数与的图像的交点为，过作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长为      . 参考答案： 由，得，所以，即，因为轴于，所以，所以的纵坐标为，即,所以. 16. 已知sin2α=，则2cos2(α－)=           ． 参考答案：   17. 已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为           参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （I）若函数的最小值是，且， 求的值： （II）若，且在区间恒成立，试求取范围； 参考答案： 解析：（1）由已知，且 解得                                                                                      （3分）                                               （7分） （2），原命题等价于在恒成立 且在恒成立                                                     （9分）      的最小值为0                                                                               （11分） 的最大值为                                                                         （13分）            所以                                                                                    （14分） 19. 在几何体中,是等腰直角三角形,,和都垂直于平面,且，点是的中点。 （1）求证：平面； （2）求面与面夹角的余弦值。 参考答案： 略 20. （本小题满分12分）已知，，且． （I）将表示成的函数，并求的最小正周期； （II）记的最大值为， 、、分别为的三个内角、、对应的边长，若且，求的最大值． 参考答案： 解：（I）由得················································ 即 所以 ，························································································· 又 所以函数的最小正周期为························································································ （II）由（I）易得····································································································· 于是由即， 因为为三角形的内角，故······················································································ 由余弦定理得····························· 解得 于是当且仅当时，的最大值为．      21. 已知函数f(x)在R上为奇函数，当。 (1）求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调区间(不用证明)； (2）若，求实数的取值范围。 参考答案： (1)     单调递增区间是 (2)  22. (本小题满分12分) 已知函数,其中是的导数, e为自然对数的底数), (,). (1)求的解析式及极值； (2)若,求的最大值.   参考答案： 解：(1).由已知得, 令,得,即, 又,∴, 从而,∴,…………………………….3分 又在上递增,且, ∴当时, ;时, , 故为极小值点,且，即极小值为1，无极大值…………………………….5分 (2).得, ①时, 在上单调递增, 时, 与相矛盾;………………………………………………7分 ②当时, ,得: 当时, ,即, ∴,, 令,则, ∴,, 当时, ,………………………………………………10分 即当,时, 的最大值为, ∴的最大值为……………………………………………………12分