隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方程组求解问题的市公开课金奖市赛课一等奖课件

隐隐函函数数组组存存在在性性、连连续续性性与与可可微微性性是是函函数数方方程程组组求求解解问问题题理理论论基基础础.利利用用隐隐函函数数组组普普通通思思想想,又又可可进进而而讨讨论论反反函函数数组组与与坐坐标变换等特殊问题标变换等特殊问题.11.2 11.2 函数行列式函数行列式三、反函数组与坐标变换三、反函数组与坐标变换 一、隐函数组概念一、隐函数组概念 二、隐函数组定理二、隐函数组定理 第1页第1页一、隐函数组概念一、隐函数组概念 设有一组方程设有一组方程 则称由则称由(1)拟定了隐函数组拟定了隐函数组 之相应之相应,能使能使其中其中 定义在定义在 若存在若存在 使得对于任给使得对于任给 有惟一有惟一第2页第2页并有并有 关于隐函数组普通情形关于隐函数组普通情形(含有含有 m+n 个变量个变量 m 个方程所拟定个方程所拟定 n 个隐函数个隐函数)，在本章不作详，在本章不作详 细讨论细讨论 第3页第3页首先来看看首先来看看,若由方程组若由方程组(1)能拟定两个可微隐能拟定两个可微隐 函数函数 ,则函数则函数 应满应满 足何种条件呢足何种条件呢?不妨先设不妨先设 都可微都可微,由复合求导法由复合求导法,通过对通过对(1)分别求关于分别求关于 x 与关于与关于 y 偏导数偏导数,得到得到 第4页第4页能由能由(2)与与(3)惟一解出惟一解出 充要充要 条件是雅可比条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即行列式不等于零，即 由此可见，只要由此可见，只要 含有连续一阶偏导数，且含有连续一阶偏导数，且 其中其中 是满足是满足(1)某一某一 初始点初始点,则由保号性定理，则由保号性定理，使得在此邻域使得在此邻域 内内(4)式成立式成立 依据以上分析依据以上分析,便有下述隐函数组定理便有下述隐函数组定理.第5页第5页 雅可比（雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国德国 ）第6页第6页定理定理 11.4(隐函数组定理隐函数组定理)设方程组设方程组(1)中函数中函数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件：(i)在以点在以点 为内点某区域为内点某区域 上连续；上连续；(ii)(初始条件初始条件);(iii)在在 V 内存在连续一阶偏导数；内存在连续一阶偏导数；(iv)二、隐函数组定理二、隐函数组定理 第7页第7页即有即有 则有下列结论成立：则有下列结论成立：且满足且满足 必定存在邻域必定存在邻域 其中其中 使得使得 第8页第8页在在 上连续上连续.在在 上存在一阶连续偏导上存在一阶连续偏导 数数,且有且有 本定理详细证实从略本定理详细证实从略(第二十三章有普通隐函第二十三章有普通隐函 数定理及其证实数定理及其证实),下面只作一粗略解释下面只作一粗略解释:第9页第9页 由方程组由方程组(1)第一式第一式 拟定隐拟定隐 函数函数 将将 代入方程组代入方程组(1)第二式第二式,得得 再由此方程拟定隐函数再由此方程拟定隐函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 第10页第10页通过详细计算通过详细计算,又可得出下列一些结果又可得出下列一些结果:第11页第11页例例1 设有方程组设有方程组 试讨论在点试讨论在点 近旁能拟定如何隐函近旁能拟定如何隐函 数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处导数处导数.解解 易知点易知点 满足方程组满足方程组(5).设设 第12页第12页它们在它们在 上有连续各阶偏导数上有连续各阶偏导数.再考察再考察 在点在点 关于所有变量雅可比矩阵关于所有变量雅可比矩阵 由于由于第13页第13页因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知,在点在点 近旁能够惟一近旁能够惟一 地拟定隐函数组地拟定隐函数组:但不能必定但不能必定 y,z 可否作为可否作为 x 两个隐函数两个隐函数.第14页第14页利用定理利用定理 11.4 结论结论 ,可求得隐函数在点可求得隐函数在点 处处 导数值导数值:第15页第15页*注注 通过详细计算通过详细计算,还能求得还能求得 这阐明这阐明 处取极大值处取极大值,从而知道从而知道 在点在点 任意小邻域内任意小邻域内,对每一个对每一个 x 值值,会有会有 多个多个 y 值与之相应值与之相应.类似地类似地,对每一个对每一个 x 值值,也会有多个也会有多个 z 值与之相应值与之相应.因此方程组因此方程组(5)在点在点 近旁不能惟一拟定以近旁不能惟一拟定以 x 作为自变量隐函数组作为自变量隐函数组.第16页第16页例例 2 设函数设函数 含有连续偏导数含有连续偏导数,是由方程组是由方程组 所拟定隐函数组所拟定隐函数组.试求试求 解解 设设 则有则有 第17页第17页由此计算所需之雅可比行列式由此计算所需之雅可比行列式:于是求得于是求得 第18页第18页注注 计算隐函数组偏导数计算隐函数组偏导数(或导数或导数)比较繁琐比较繁琐,要学懂前两例所演示办法要学懂前两例所演示办法(利用雅可比矩阵和利用雅可比矩阵和 雅可比行列式雅可比行列式),掌握其中规律掌握其中规律.这里尤其需要这里尤其需要 “精心精心细心细心耐心耐心”.第19页第19页三、反函数组与坐标变换三、反函数组与坐标变换 设有一函数组设有一函数组 它拟定了一个映射它拟定了一个映射(或变换或变换):写成点函数形式写成点函数形式,即为即为 并记并记 象集为象集为 现在问题是现在问题是:函数组函数组(6)满足满足 何种条件时何种条件时,存在逆变换存在逆变换 即存在即存在 第20页第20页亦即存在一个函数组亦即存在一个函数组 使得满足使得满足 这样函数组这样函数组(7)称为函数组称为函数组(6)反函数组反函数组.它它 存在性问题可化为隐函数组相应问题来处理存在性问题可化为隐函数组相应问题来处理.第21页第21页为此为此,首先把方程组首先把方程组(6)改写为改写为 然后将定理然后将定理 18.4 应用于应用于(8),即得下述定理即得下述定理.定理定理 11.5(反函数组定理反函数组定理)设设(6)中函数在某区域中函数在某区域 上含有连续一阶偏导数上含有连续一阶偏导数,是是 内点内点,且且 第22页第22页则在点则在点 某邻域某邻域 内内,存在惟一存在惟一 另外另外,反函数组反函数组(7)在在 内存在连续一阶内存在连续一阶 一组反函数一组反函数(7),使得使得 偏导数偏导数;若记若记 第23页第23页则有则有 同理又有同理又有 第24页第24页由由(9)式进一步看到式进一步看到:此式表示此式表示:互为反函数组互为反函数组(6)与与(7),它们雅它们雅 可比行列式互为倒数可比行列式互为倒数,这和以前熟知反函数求这和以前熟知反函数求 导公式相类似导公式相类似.于是可把一元函数导数和函数于是可把一元函数导数和函数组组(6)雅可比行列式看作相应物雅可比行列式看作相应物.第25页第25页例例3 平面上点直角坐标平面上点直角坐标 与极坐标与极坐标 之之 间坐标变换为间坐标变换为 试讨论它逆变换试讨论它逆变换.解解 由于由于 因此除原点因此除原点(r=0)外外,在其余一切点处在其余一切点处,T 存在存在 逆变换逆变换 第26页第26页第27页第27页例例4 空间直角坐标空间直角坐标 与球坐标与球坐标 之间之间 坐标变换为坐标变换为(见图见图115)图图 115由于由于 第28页第28页因此在因此在 (即除去即除去 Oz 轴上一切点轴上一切点)时时,存在逆变换存在逆变换 例例5 设有一微分方程设有一微分方程(弦振动方程弦振动方程):其中其中 含有二阶连续偏导数含有二阶连续偏导数.试问此方程在试问此方程在 坐标变换坐标变换 之下之下,将变成何将变成何 种形式种形式?第29页第29页解解 据题意据题意,是要把方程是要把方程(10)变换成以变换成以 u,v 作为自作为自 变量形式变量形式.现在按此目的计算下列现在按此目的计算下列:首先有首先有 故故 T 逆变换存在逆变换存在,并且又有并且又有 依据一阶微分形式不变性依据一阶微分形式不变性,得到得到 并由此推知并由此推知 第30页第30页继续求以继续求以 u,v 为自变量为自变量 与与 表示式表示式:最后得到以最后得到以 u,v 为自变量为自变量 微分方程为微分方程为 第31页第31页1.验证验证:定理定理 11.4 结论结论 能够写成能够写成 2.验证验证:由定理由定理 11.5 (9)式式(书本中为书本中为(13)式式)能够推得能够推得 复习思考题复习思考题 第32页第32页