资源描述
2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段交于点，连接．若点关于的对称点恰好在上，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE//BC，，S梯形BCED＝8，则S△ABC是（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
3．已知反比例函数图像上三个点的坐标分别是，能正确反映的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于一元二次方程（，是不为的常数）的根的情况判断正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根
5．通过对《一元二次方程》全章的学习，同学们掌握了一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，其实，每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现的基本思想是（ ）
A．转化 B．整体思想 C．降次 D．消元
6．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为．若，求动点运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
10．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知是方程 的两个实数根，则的值是____．
12．点P、Q两点均在反比例函数的图象上，且P、Q两点关于原点成中心对称，P（2，3），则点Q的坐标是_____．
13．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，用表示这三个数中最小的数，例如，.请结合上述材料，求_____.
14．如图，让此转盘自由转动两次，两次指针都落在阴影部分区域（边界宽度忽略不记）的概率是____________.
15．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_______.
16．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝_____m．
17．已知一个不透明的盒子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外均相同，现从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________ ．
18．把抛物线沿着轴向左平移3个单位得到的抛物线关系式是_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为元件，每销售一件需缴纳平台推广费元，该款小电器每天的销售量（件）与每件的销售价格（元）满足函数关系：．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于元件且不得高于元件．
（1）写出每天的销售利润（元）与销售价格（元）的函数关系式；
（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
21．（6分）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．
（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．
22．（8分）如图，一块矩形小花园长为20米，宽为18米，主人设计了横纵方向的等宽小道路（图中阴影部分），道路之外种植花草，为了使种植花草的面积达到总面积的80%，求道路的宽度.
23．（8分）为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，1，1．
（1）填写下表：
平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华
8
小亮
8
3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.
（1）若，求的半径；
（2）当与相切时，求的面积；
（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O ，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．
（1）求证：D是BC的中点
（2）若DE=3， AD＝1，求⊙O的半径．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】根据，可得矩形的长和宽，易知点的横坐标，的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出的长，然后把问题转化到三角形中，由勾股定理建立方程求出的值．
【详解】过点作，垂足为，设点关于的对称点为，连接，如图所示：
则，
易证
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
在中，由勾股定理：
即：
解得：
故选C．
【点睛】
此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现与的比是是解题的关键．
2、D
【分析】由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求△ADE的面积，再加上BCED的面积即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴，
∵S梯形BCED＝8，
∴
∴
故选：D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解．
3、B
【分析】根据反比例函数关系式，把－2、1、2代入分别求出，然后比较大小即可.
【详解】将A、B、C三点横坐标带入函数解析式可得，
∵，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标，正确利用函数表达式求点的坐标是解题关键.
4、B
【分析】首先用表示出根的判别式，结合非负数的性质即可作出判断．
【详解】由题可知二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
，
是不为的常数，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根③△＜0⇔方程没有实数根．
5、C
【分析】根据“每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解”进行判断即可.
【详解】每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，也就是“降次”，
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次方程解法的理解，读懂题意是关键.
6、D
【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式
进行计算即可.
详解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，
解得：，
根据二次项系数 可得：
故选D.
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
7、B
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，符合此定义的只有选项B．故选B．
8、B
【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，过点P作OP⊥AB，取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O，连接OA，设半径长为R，则根据勾股定列出方程求出R的值，再根据弧长计算公式l=求出l值即可.
【详解】解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，如图所示，连接PQ，取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O，连接OA，OB.
∵P是AB的中点，
∴PA=PB=AB=6=3.
∵和是等边三角形，
∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，
∴AP=PD，∠APD=120°.
∴∠PAD=∠ADP=30°，
同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，
∴∠PAD=∠PBQ.
∵AP=PB,
∴PQ⊥AB.
∴tan∠PAQ==
∴PQ= .
在Rt△AOP中，
即
解得：OA= .
∵sin∠AOP===
∴∠AOP=60°.
∴∠AOB=120°.
∴l=== .
故答案选B.
【点睛】
本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.
9、B
【分析】连接BB′，延长BC′交AB′于点M；证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′=∠MBA=30°．
【详解】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；
由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′＝∠MBA＝30°，
即∠ABC'＝30°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作
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