2022年山西省忻州市神堂堡中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022年山西省忻州市神堂堡中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图分别反映的变量是（） A． ①②③ B． ②③① C． ②①③ D． ①③② 参考答案： D 考点： 散点图． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 由图分析得到正负相关即可． 解答： 第一个图大体趋势从左向右上升，故正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故负相关， 故选D． 点评： 本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题． 2. 已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β 。 其中正确命题的个数是  A．0  B．1 C．2  D．3 参考答案： C 3. 已知，则函数的表达式为 A．   B．     C．   D． 参考答案： C 略 4. 函数的定义域为（  ） A．　　　B．　　　C．　　　　D． 参考答案： D 5. 已知，向量与垂直，则实数的值为 （A）        （B）       （C）        （D） 参考答案： 解析：向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A。 6. 要得到函数的图像，只需把函数的图像（    ） A.向上平移2个单位         B.向下平移2个单位 C.向左平移2个单位       D.向右平移2个单位 参考答案： C 略 7. 已知f（x）=，则f[f （﹣3）]等于（　　） A．0 B．π C．π2 D．9 参考答案： B 考点：函数的值．  专题：计算题． 分析：先根据已知函数解析式求出f（﹣3）=0，然后把f（x）=0代入即可求解 解答：解：∵﹣3＜0 ∴f（﹣3）=0 ∴f（f（﹣3））=f（0）=π 故选：B 点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题 8. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是(   ) A. B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C 参考答案： B 【分析】 由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可． 【详解】由题BA， ∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}， ∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC， 则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等， 故选B． 【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题 9. 已知函数f（x）=，若方程f（x）=有三个不同的实根，则实数k的范围是（　　） A．（1，2] B．[1，+∞） C．[1，2） D．[1，2] 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】把方程f（x）=有三个不同的实根转化为函数y=f（x）的图象与y=有三个不同交点，画出函数图象，数形结合可得，从而求得实数k的范围． 【解答】解：方程f（x）=有三个不同的实根，即函数y=f（x）的图象与y=有三个不同交点． 作出函数的图象如图： 由图可知：，得k≥1． ∴实数k的范围是[1，+∞）． 故选：B． 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，，，则（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 的最小正周期为，其中，则=         ． 参考答案： 10 12. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为　　寸． 参考答案： 1.6 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x． 【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1， （5.4﹣x）×3×1+π?（ 2）2x=12.6，x=1.6． 故答案为：1.6 13. 已知函数，对于任意的，有如下条件： ①；   ②；  ③；   ④． 其中能使恒成立的条件序号是         . 参考答案： ①④ 略 14. 在等腰中，是的中点，则在 方向上的投影是             ． 参考答案： 略 15. 已知船在灯塔北偏东处，且船到灯塔的距离为2km，船在灯塔北偏西处，、两船间的距离为3km，则B船到灯塔的距离为____________km 参考答案： 16. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为_______． 参考答案： 解析式为：；因为对一切成立，； ，，由，所以 ，解得； 17. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销.得到如下数据:   单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68   根据上表可得回归直线方程中的，据此模型预报单价为10元时的 销量为_______件. 参考答案： 50 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数， 使，则称函数是由“基函数， ”生成的. （1）若是由“基函数， ”生成的，求实数的值； （2）试利用“基函数， ”生成一个函数，且同时满足以下条件：①是偶函数；②的最小值为1.求的解析式. 参考答案： （1）；（2） 试题分析：⑴由已知得，求解即可求得实数的值； ⑵设，则，继而证得是偶函数，可得与的关系，得到函数解析式，设，则由，即可求解的最小值为 解析：（1）由已知得， 即， 得，所以. （2）设，则. 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立，所以. 所以 . 设，令，则， 改写为方程， 则由，且，得，检验时， 满足， 所以，且当时取到“=”. 所以，又最小值为1，所以，且，此时， 所以. 19. 设函数f（x）=log2（4x）?log2（2x），， （1）若t=log2x，求t取值范围； （2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值． 参考答案： 【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【分析】（1）由对数函数的单调性，结合，我们易确定出t=log2x的最大值和最小值，进而得到t取值范围； （2）由已知中f（x）=log2（4x）?log2（2x），根据（1）的结论，我们可以使用换元法，将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题，根据二次函数的性质易得答案． 【解答】解：（1）∵∴即﹣2≤t≤2 （2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2∴令t=log2x，则， ∴时，当t=2即x=4时，f（x）max=12 20. （本小题满分14分）已知函数，，且对恒成立． （1）求a、b的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （3）记，那么当时，是否存在区间（），使得函数在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）由得或．于是，当或时，得 ∴∴此时，， 对恒成立，满足条件．故． （2）∵对恒成立，∴对恒成立． 记．∵，∴， ∴由对勾函数在上的图象知当，即时，，∴． （3）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴在上是单调增函数， ∴即即 ∵，且， 故：当时，； 当时，；当时，不存在． 21. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】H5：正弦函数的单调性；HW：三角函数的最值． 【分析】（1）利用三角函数的最值求出A，B，利用函数的周期求出ω，利用图象经过的点求出φ，得到函数的解析式． （2）利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的最大值为2，最小值为﹣， ∴A=，B=． 又∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的周期为π， ∴T==π，即ω=2． ∴f（x）=sin（2x+φ）+． 又∵函数f（x）过（0，﹣），∴﹣=sin φ+， 即sin φ=﹣． 又∵|φ|＜，∴φ=﹣， ∴f（x）=sin（2x）+．…8’ （2）令t=2x﹣，则y=sin t+，其增区间为：[2k，2k]，k∈Z． 即2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z． 解得kπ﹣≤x≤kπ+． 所以f（x）的单调递增区间为[，k]，k∈Z．…12’ 22. 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点． （1）|OA|?|OB|最小时，求直线l的方程； （2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】法一：（1）先求出+=1，根据基本不等式的性质得到ab的最小值，从而求出直线方程；（2）根据基本不等式的性质得到关于a，b的方程组，解出a，b，求出方程即可；法二：（1）设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k＜0），求出其与坐标轴的交点坐标，表示出|OA|?|OB|，根据基本不等式的性质求出k的值，从而求出直线方程； （2）表示出2|OA|+|OB|，根据基本不等式的性质求出k的值，求出直线方程即可． 【解答】解：方法 一：设|OA|=a，|OB|=b，则直线l的方程为： +=1，（a＞2，b＞1），由已知可得： +=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （1）∵2≤+=1，∴ab≥8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当且仅当==，即a=4，b=2时，ab取最小值4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 此时直线l的方程为+=1，即为x+2y﹣4=0． 故|OA|?|OB|最小时，所求直线l的方程为：x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）由+=1得：2a+b=（2a+b）?（+）=5++≥5+2=9﹣﹣﹣﹣﹣ 当且仅当，即a=3，b=3时，2a+b取最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 此时直线l的方程为+=1，即x+y﹣3=0． 故@|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 方法二：设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k＜0）， 则l与x轴、y轴正半轴分别交于A（2﹣，0）、B（0，1﹣2k）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （1）|OA|?|OB|=（2﹣）?（1﹣2k）=4+（﹣4k）+（﹣）≥4+2=8， 故|OA|?|OB|最小时，所求直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣ （2）2|OA|+|OB|=2（2﹣）+（1﹣2k）=5+（﹣）+（﹣2k）≥5+2=9， 当且仅当﹣=﹣2k，即k=﹣1时取得最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故2|OA|+|OB|最小时，所求直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣