2022-2023学年黑龙江省伊春市宜春上高泗溪中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若,则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．不能确定
参考答案：
2. 在四边形中，，,则该四边形的面积为 （ ）.
A. B.
C.5 D.15
参考答案：
D
3. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
4. 已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A. B.（1,3） C. D.
参考答案：
A
【分析】
对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象找到临界的相切状态，通过求解切线斜率即可构造不等式，求解得的取值范围．
【详解】函数
由于函数的两个极值点为，
即，是方程的两个不等实根
即方程有两个不等式实根，且，
设，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；
要使这两个函数有2个不同的交点，应满足如图所示的位置关系
临界状态为图中虚线所示切线
恒过，设与曲线切于点
则
若有2个不同的交点，则
解得：
所以的取值范围是
本题正确选项：
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，关键是能够将问题转化为两个函数有两个交点的问题，根据切线斜率求得临界值．
5. 已知点A(1，-2)，若向量与a=(2，3)同向，且，则点B的坐标为( )·
(A) (5，-4) (B) (4，5)
(C) (-5，-4) (D) (5，4)
参考答案：
D
6. 在以下给出的数列中，是等差数列的为（ ）
（A）前n项的和S n = n 2 – n + 2 （B）第n项是log 2 sin n – 1
（C）第n项是 （D）由某两个等差数列对应项的乘积构成的数列
参考答案：
B
7. 函数y=sin（2x+）的图象可以由函数y=sin2x的图象（ ）得到．
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数y=sin2x的图象，向左平移个单位长度，可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8. 函数的值域为R，则实数的取值范围是 （ ）
A． B. C. D.
参考答案：
B
9. 函数的最小正周期是 （ ）
A B C D
参考答案：
D
略
10. 已知一个算法的程序图如图所示，当输入x∈[﹣2，9]时，则输出的y属于（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，） D．[0，）
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【专题】计算题；函数思想；定义法；算法和程序框图．
【分析】根据程序框图知：算法的功能是求y=的值，求分段函数的值域可得答案．
【解答】解：当﹣2≤x＜1时，y=2x+，则y∈[，），
当1≤x≤9时，y=1+，则y∈[﹣1，1]，
∴y∈[﹣1，）
故选：C．
【点评】本题考查了选择结构的程序框图，分段函数求值域的方法是先在不同的段上值域，再求并集．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于 。
参考答案：
-3
12. 已知f（x﹣1）=x2，则f（x）= ．
参考答案：
（x+1）2
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】可用换元法求解该类函数的解析式，令x﹣1=t，则x=t+1代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2即f（x）=（x+1）2
【解答】解：由f（x﹣1）=x2，令x﹣1=t，则x=t+1
代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2
∴f（x）=（x+1）2
故答案为：（x+1）2．
13. 命题“全等三角形一定相似”的否命题是 ，命题的否定是 ．
参考答案：
两个三角形或不全等，则不一定相似；两个全等三角形不一定相似
14. 在中,,,,则的面积 .
参考答案：
4
15. 设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b= ．
参考答案：
4
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】利用f（m）=g（m），推出?sin（m﹣θ）=b（1﹣a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可．
【解答】解：由f（m）=g（m），
即a（b+sinm）=b+cosm
asinm﹣cosm=b﹣ab
?sin（m﹣θ）=b（1﹣a）
∵﹣1≤sin（m﹣θ）≤1
∴﹣≤b，（1﹣a）≤
∵a，b均为大于1的自然数
∴1﹣a＜0，b（1﹣a）＜0，
∴b（1﹣a）≥﹣，
b（a﹣1）≤
b≤=．
∵a≥4时，b＜2
∴a＜4
当a=2时 b≤，b=2
当a=3时 b≤无解
综上：a=2，b=2
a+b=4．
故答案为：4．
16. 若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有
②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数f(x)为“理想函数”。
给出下列四个函数中：① ；② ； ③；
④ ，能被称为“理想函数”的有_ _ （填相应的序号）．
参考答案：
④
17. 已知，那么= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】计算题．
【分析】若，则，结合向量模的计算公式可得答案．
【解答】解：因为，
所以||=．
故答案为．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量的坐标表示，以及掌握向量模的计算公式．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求f(x)的值域.
参考答案：
解：（1）∵，
∴，
.
（2）由
，
当，时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为
（3）∵，∴，∴，
故函数的值域为.
19. 设函数f(x)=acos2ωx+acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=是其函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[，]，值域为[﹣1，5]，求a，b的值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 b++acos（2ωx﹣），再由是其函数图象的一条对称轴，可得 2ω?﹣=kπ，k∈z，由此求得ω 的值．
（Ⅱ）由（1）可得 f（x）=b++acos（2x﹣），再根据x∈，可得cos（2x﹣）∈[﹣1，1]．再由函数f（x）的值域为[﹣1，5]，可得 ①，或②，由此求得a、b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数=+cos（2ωx）+asin（2ωx）=b++acos（2ωx﹣），
再由是其函数图象的一条对称轴，可得 2ω?﹣=kπ，k∈z，ω=3k+1，
∴ω=1．
（Ⅱ）由（1）可得 f（x）=b++acos（2x﹣），再根据x∈，可得 2x﹣∈[﹣π，]，故cos（2x﹣）∈[﹣1，1]．
再由函数f（x）的值域为[﹣1，5]，可得 ①，或②．
由①可得，解②可得．
综上可得，或 ．
20. 是定义在R上的函数，且.
(1) 求a，b的值，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 利用函数单调性的定义证明：f(x)在(－1,1)为增函数.
参考答案：
（1） 解：
因为定义域为(－1,1)， f(-x)=f(x)
∴是奇函数. ………6分
(2)设为（-1,1）内任意两个实数，且，
则
又因为，所以
所以即 所以函数在（-1,1）上是增函数.…12分
21. (本小题满分12分)
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，．其中且．
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式，结果用集合或区间表示．
参考答案：
解：(1)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为. .………6分
(2)（法一）不等式等价于或，
即或.
当a>1时，有或，
可得此时不等式的解集为.
同理可得，当0
1时，不等式的解集为；
当0
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