2022年四川省宜宾市红桥中学高一数学理期末试卷含解析

2022年四川省宜宾市红桥中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（    ）     A．40    B．    C．    D．30 参考答案： B 略 2. （5分）已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（） A． N?M B． M∪N=M C． M∩N=N D． M∩N={2} 参考答案： D 考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 集合． 分析： 由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2?M，则N?M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断． 解答： A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2?M，则N?M，故A错误； B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误； C、M∩N={2}≠N，故C错误； D、M∩N={2}，故D正确． 故选D． 点评： 本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算． 3. 在等差数列{an}中，若a4+a6=12, Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为 A．48 B．54 C．60 D．66 参考答案： B 4. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：(       ) A.，      B.， C.，      D.以上都不正确        参考答案： A 5. 若直线是函数图象的一条对称轴，则的值可以是（     ） （A） （B） （C） （D） 参考答案： A 【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，，由选项可知a只能是。 故答案为：A 6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（    ） A．5       B．6       C．7       D．8 参考答案： B 7. 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是（     ） A． B． C．1：1 D． 参考答案： A 8. 在△ABC中，已知C＝，，△ABC的面积为，则=（  ） A． 　　　　B． 　　    C．   　　 D． 参考答案： C 9. 已知,，则等于               (     ) A.      B.      C.      D. 参考答案： B 略 10. 已知 ，则   A．0                         B．2015   C．e                         D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的最小正周期为        . 参考答案： 12. 下列结论中, ①   在等腰直角中,,则 ②   . ③   . ④   三个非零向量 ⑤    正确的序号为____________   参考答案： ①②③⑤ 13. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调递增，若，则的取值范围是      参考答案： ； 14. 等差数列中，，记数列的前n项和为，若对任意恒成立，则正整数m的最小值为            . 参考答案： 5    略 15. 已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=　　． 参考答案： 27 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（9）的值． 【解答】解：设幂函数y=f（x）=xa，a∈R， 且图象过点， ∴2a=2， 解得a=， ∴f（x）=； ∴f（9）==27． 故答案为：27． 16. 在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率_______． 参考答案： 17. 已知，函数在区间上恰有9个零点，则的取值范围是________. 参考答案： [16,20) 【分析】 由奇偶性可得在上恰有4个零点,则,进而求得的范围即可 【详解】在区间上恰有9个零点,等价于在上恰有4个零点, 设的周期为T,则,即, 所以,则, 故的取值范围为, 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数周期性的应用,考查求的范围 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2x﹣y﹣2=0上 （1）求圆的方程； （2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）圆心C是MN的垂直平分线与直线2x﹣y﹣2=0的交点，CM长为半径，进而可得圆的方程； （2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点，则C到l的距离小于半径，进而得到k的取值范围； （3）求出AB的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0） R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25 ∴圆C的方程为：（x﹣1）2+y2=25… （2）设直线l的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d， 则d= 由题意：d＜5   即：8k2﹣15k＞0 ∴k＜0或k＞ 又因为k＞0 ∴k的取值范围是（，+∞） … （3）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0 ∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0   即k=2 ∵k=2＞ 故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0… 19. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，4）． （1）求，的值； （2）的值． 参考答案： （1）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4）， 故，                  ……………2分                         ……………6分 （2）               ……………9分                              ……………12分 20. 已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）． （1）证明：当x＞0时，f（x）＜x； （2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）构造函数F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），利用函数F（x）的单调性，只需求出F（x）值域即可； （2）构造函数G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），利用其单调性，讨论其值域情况即可． 【解答】解：（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞）， 则有F′（x）=﹣1=﹣．… 当x∈（0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递减；… 故当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，即当x＞0时，f（x）＜x．… （2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞）， 则有G′（x）=﹣k=．… 当k≤0时G′（x）＞0，所以G（x）在（0，+∞）上单调递增， G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．… 当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得x==﹣1＞0． 取x0=﹣1，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，… 从而G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．… 21. 某市地铁全线共有五个车站，甲乙两人同时在地铁第一号车站（首发站）乘车．假设每人自第2号车站开始,在每个车站下车是等可能的。约定用有序实数对表示“甲在号车站下车，乙在号车站下车”。 （1）求甲乙两人同在第4号车站下车的概率; （2）求甲乙两人在不同的车站下车的概率。 参考答案： 略 22. 已知分别为三个内角的对边，  （10分） （1）求的值；   （2）若，求的面积. 参考答案： 略