广西壮族自治区防城港市东兴中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区防城港市东兴中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（　　） A．若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z） B．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称 C．函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同 D．函数f（x）在[﹣π，π]上递增 参考答案： D 【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，判断A错误； 根据f（﹣）≠0，判断B错误； 化g（x）为正弦型函数，判断C错误； 根据x∈[﹣，]时f（x）是单调增函数判断D正确． 【解答】解：对于A，f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，k∈Z，∴A错误； 对于B，f（﹣）=3sin（2×（﹣）﹣）=﹣3≠0， ∴f（x）的图象不关于（﹣，0）对称，B错误； 对于C，g（x）=3cos（2x+）=3sin[﹣（2x+）]=﹣3sin（2x﹣）， 与f（x）=3sin（2x﹣）的图象不相同，C错误； 对于D，x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]， ∴f（x）=3sin（2x﹣）是单调增函数，D正确． 故选：D． 2. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（   ） A．     B．     C．     D． 参考答案： D 试题分析：如图，作出函数的图象和直线，直线过定点，由题意，解得．故选D． 考点：函数与方程． 【名师点睛】本题考查函数与方程思想，考查方程解的个数问题，解决这类问题大多数是把它转化为函数图象交点个数问题，利用数形结合思想求解，本题中，作出函数与直线，特别是直线过定点，由此易知它们要有三个交点，直线的位置变化规律，易得出结论． 3. 设（i为虚数单位），则=（　　） A． B． C． D．2 参考答案： B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出|z|，则可求． 【解答】解：∵ =， ∴|z|=， ∴=． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题． 　 4. 设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不相等的实数根的概率为（    ）  A              B                C              D  参考答案： A 5. 向量, 若, 则实数的值为 A.               B.              C.             D. 参考答案： A 由得即，解得，选A. 6. 已知全集，集合，集合，则为 A．        B．        C．        D． 参考答案： A 7. 已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】将函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1化解求解最小值，求出θ，带入化解计算即可． 【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x+cos2x+=sin（2x+φ）+， 其中tanφ=，可得cot=2． 当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ+φ=， 那么：2θ=φ+2kπ． 则====． 故选D． 8. 当实数x，y满足不等式组时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A．   B．     C． D． 参考答案： D 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（    ） A.           B.         C.         D. 参考答案： B 10. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是        A．                                           B．         C．                                                            D．  参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆Ｃ的极坐标方程为，点的极坐标为，过点作圆Ｃ的切线，则两条切线夹角的正切值是        .   参考答案： 12. 设为任意实数，不等式组表示区域，若指数函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是________ 参考答案： 略 13. 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为　　． 参考答案： 20 【考点】简单线性规划． 【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论． 【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍， 画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20 故答案为：20． 【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 14.  把函数的图象沿 x轴向左平移个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数图象,对于函数有以下四个判断： ①该函数的解析式为；  ②该函数图象关于点对称；　③该函数在上是增函数；④函数在上的最小值为,则． 其中，正确判断的序号是________________________ 参考答案： ②④ 15. 若为奇函数，则实数＿＿＿＿＿＿. 参考答案： -2 16. 如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=_________. 图（1）  图（2）  参考答案： 【分析】 根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决． 【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD⊥平面A'BD， 取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG， 因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD， 所以A'和B关于平面CDG对称， 在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过 O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F， 则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1， 因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F， 即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R， ∴A'F2， 所以，BF＝2， 所以四边形A'DBF为菱形， 又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形， ∴OE2， ∴三角形A'DF为等边三角形， ∴∠A'DF， 故∠A'DB， 故填：． 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 17. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为________________．                                参考答案： 1 由题意知，所以。第三列和第五列的公比都为,所以，所以，即。，所以 。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点． （1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P（0，），求+． 参考答案： 【考点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）2+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C； （2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求+． 【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲线C1的直角坐标方程为=1， ∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆 （2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得． 设A、B两点对应的参数分别为t1，t2， ∴t1+t2=﹣，t1t2=， ∴+=|=． 19. （本小题满分12分）设函数. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式； （Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。 参考答案： 解（Ⅰ），   （2分）    ∴.    由，得.    故函数的单调递减区间是.     （6分） （2）.  当时，原函数的最大值与最小值的和， .                         （8分） （3）由题意知                                （10分）   =1            （12分）   20. 已知函数的定义域为集合，集合. 若，求实数的取值范围. 参考答案： 解：集合， 因为，所以 ，. 即. 略 21. 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ． (1)求与； (2)求和：． 参考答案： （1）设的公差为，的公比为，则为正整数， ，       依题意有① 解得或(舍去)   故 （2）  ∴      裂项相消得 略 22. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程； （II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2， ∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b=|OM|=1， ∴．… ∴椭圆的方程为．… （II）①当直线l的斜率不存在时，由解得． 设，，则为定值．… ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）． 将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．… 依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，．… 又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）， 所以= == ==．．…．… 综上得k1+k2为常数2..…．…