浙江省台州市椒江第二中学高三数学理测试题含解析

浙江省台州市椒江第二中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 是椭圆上的一点，和是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积等于  （    ）                         参考答案： B 2. 函数的一个零点所在的区间是 （A）(0,1)       （B）(1,2)     （C）(2,3)       （D）(3,4) 参考答案： B 3. 现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边。如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名。用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利（   ）元. (A) 760           (B) 780      (C) 800         (D)  820 参考答案： B 设每天安排电脑机和普通机各，台，则一天可获利，线性约束条件为，画出可行域（如图）， 可知当目标函数经过时，. 4. 设集合，则 (A) (B) (C) (D) 参考答案： C        ，数轴上表示出来得到[1,2) .   5. 某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（　　） A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率 C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率． 【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率； 故选B． 6. 已知a＝21.2，，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a  B．c＜a＜b C．b＜a＜c  D．b＜c＜a 参考答案： A 7. 等差数列中，则（   ） A．           B．           C．          D． 参考答案： B 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则(   ) A.   B.   C.   D. 与关系不确定 参考答案： C 略 9.   A．    B．   C．     D． 参考答案： A 略 10. 复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限   参考答案： C 由题意：z= –1–2i，故位于第三象限 【答案】 【解析】 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的 a=      ． 参考答案： 12 略 12. 在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________. 参考答案： 18 略 13. （坐标系与参数方程选做题）． 如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则            ． 参考答案： 略 14. 若函数在上可导，，则 ______； 参考答案： 因为，所以，所以，所以。 15. 某班级的54名学生编号为：1，2，3，…，54，为了采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知样本中含有编号为5号、23号和41号的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为                ． 参考答案： 14，32，50 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间距为9，即可得到结论． 【解答】解：根据系统抽样的定义抽样间距为9， 则6个样本编号从小到大构成以9为公差的等差数列， 则样本中剩余三名同学的编号分别为14，32，50， 故答案为：14，32，50 16. 函数的定义域为__________． 参考答案： 略 17. )已知，那么 的最小值为               ； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式. 参考答案： 由题意知. 且故二次函数在区间上是增函数.…………………………4分 又因为，……………………………………6分 故由二次函数的单调性知不等式 等价于即  ……………………10分 故即不等的解为：.……………………12分 19. 已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）． （1）当a=1时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点：绝对值不等式的解法． 专题：计算题． 分析：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集． （2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围． 解答： 解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得， ∴不等式的解集为．  … （2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1． 解得a≥2，或a≤0．    又∵a＞0，∴a≥2． ∴实数a的取值范围为[2，+∞）．   … 点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 20. 若的图象关于直线对称，其中 （1）求的解析式；   参考答案： （2）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象；若函数的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值. 略 21. （Ⅰ）设证明 ， （Ⅱ），证明 .   参考答案： (1)要证原不等式成立只需证,下面用做差法证明： . ∵,所以原不等式得证. (2)∵∴原不等式化 令,∴由（1）可知不等式成立.   证法二:    (1) 因为,所以    所以 所以,    所以 ,  所以原不等式成立. (2)因为              ,       所以原不等式成立. 22. 已知点A为圆上任意一点，点，线段AC的中垂线交AB于点M. （1）求动点M.的轨迹方程； （2）若动直线l与圆相切，且与动点M的轨迹交于点E、F，求面积的最大值（O为坐标原点）. 参考答案： （1）； （2）. 【分析】 （1）由题意可得则由椭圆的定义可得轨迹方程. （2）先考虑动直线斜率存在时，设为y=kx+m与椭圆方程联立，由直线l与圆O相切，利用根的判别式求出k与m的关系，由弦长公式、三角形面积公式，结合换元法利用二次函数求最值的方法能求出△OEF面积的最大值，再考虑斜率不存在时，可直接求得点的坐标，求得面积，比较后得到结论． 【详解】（1）由题知， 的轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为. （2）①当的斜率存在时.设 的方程为 由得: 可得  与圆相切， 从而， 令，得 . 当且仅当即时取等号. . ②当的斜率不存在时.易得的方程为或.此时 . 由①②可得:的最大值为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积公式及最值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．