2022-2023学年安徽省宣城市职业高级中学高一数学文期末试题含解析

2022-2023学年安徽省宣城市职业高级中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　） A．(,)∪(,) B．(,)∪(,) C．(,)∪(,) D．(,)∪(,) 参考答案： B 【考点】正弦函数的单调性；象限角、轴线角；正切函数的单调性． 【专题】计算题． 【分析】先根据点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，得到sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，进而可解出α的范围，确定答案． 【解答】解：∵ 故选B． 【点评】本题主要考查正弦、正切函数值的求法．考查基础知识的简单应用． 2. 设，若，则（     ） A． -2        B． -5      C.  -7       D．4 参考答案： C 令 为奇函数 又 故选C.   3. 设，则a，b，c的大小关系是(  )     A.b>c>a           B．a>b>c       C.c>a>b           D．a>c>b 参考答案： D 略 4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（    ） A．平面平面 B．直线与直线是异面直线 C．直线与直线共面 D．面与面的交线与平行 参考答案： A 由展开图恢复原几何体如图所示： 折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直，A不正确； 由点不在平面内，直线不经过点，根据异面直线的定义可知： 直线与直线异面，所以B正确；在中，由，， 根据三角形的中位线定理可得，又，， 故直线与直线共面，所以C正确；，面， 由线面平行的性质可知面与面的交线与平行，D正确，故选A． 5. 若△ABC边长为a，b，c，且则f（x）的图象(    ) A．在x轴的上方  B．在x轴的下方  C．与x轴相切   D．与x轴交于两点 参考答案： A 略 6. 考察下列每组对象哪几组能够成集合？（　　） （1）比较小的数；（2）不大于10的非负偶数；（3）所有三角形；（4）高个子男生； A．（1）（4）      B.（2）（3）     C.（2）          D.（3） 参考答案： B 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个长度单位    B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位    D．向右平移个长度单位 参考答案： C 略 8. 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U(A∪B)＝(　　) A．{2，6}　　　　　　　　　 B．{3，6} C．{1，3，4，5}  D．{1，2，4，6} 参考答案： A 解析：由题知A∪B＝{1，3，4，5}， 所以?U(A∪B)＝{2，6}．故选A. 9. 已知等比数列满足，则（    ） A．36                      B．64                   C．108                         D．128 参考答案： C 10. 将八进制数化成十进制数，其结果为（    ） A. 81 B. 83 C. 91 D. 93 参考答案： B 【分析】 利用进制数化为十进制数的计算公式，，从而得解。 【详解】由题意，，故选． 【点睛】本题主要考查八进制数与十进制数之间的转化，熟练掌握进制数与十进制数之间的转化计算公式是解题的关键。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若3sinα+cosα=0，则的值为　   　． 参考答案： 5 【考点】GT：二倍角的余弦；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的正弦． 【分析】由已知的等式移项后，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，求出tanα的值，然后把所求式子的分子分别利用二倍角的余弦、正弦函数公式化简，分母利用同角三角函数间的基本关系把“1”化为sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，将tanα的值代入即可求出值． 【解答】解：∵3sinα+cosα=0，即3sinα=﹣cosα， ∴tanα==﹣， 则 = ===5． 故答案为：5 12. .如图，侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400  ， 过A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为            。 参考答案： 略 13. 当时，函数取得最小值，则________． 参考答案： 【分析】 利用辅助角公式可得：，其中，；可求得，代入可知，利用两角和差正弦公式即可求得结果. 【详解】，其中， 则，即 ，即 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用辅助角公式、两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是能够利用辅助角公式，结合最值取得的点求得. 14. 如果一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为　　． 参考答案： π 【考点】弧长公式． 【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值． 【分析】直接根据弧长公式解答即可． 【解答】解：一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm， 所以扇形所对的圆心角为n===π． 故答案为：π． 【点评】本题主要考查了弧长公式的应用问题，熟记公式是解题的关键． 15. 已知函数的定义域为，则的定义域是________.             参考答案： 16. 已知数列的前n项和，则___________________ 参考答案： 略 17. 设为实数，若，则的最大值是________. 参考答案：      略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立． （1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由； （2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围； （3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用；函数的值． 【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】（1）利用已知条件，通过判断任取，证明|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，说明f（x）属于集合M． （2）利用新定义，列出关系式，即可求出实数a，b的取值范围． （3）通过若p（x）∈M，推出，然后求解a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）?M． 【解答】解：（1）任取， ∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1 ∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2| 即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M… （2）∵g（x）=ax+b∈M， ∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立． 即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2| ∴… （3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立． 即， ∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）| ∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1， ∴|a|≤1，﹣1≤a≤1 ∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M； 当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）?M．…（18分） 【点评】本题考查新定义的应用，函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力、 19. （12分）已知f（x）=2sin（2x+）+1 （1）在直角坐标系中用“五点画图法”画出f（x）一个周期的图象（要求列表、描点） （2）直接写出函数f（x）的单调递增区间以及f（x）取最大值时的所有x值的集合． 参考答案： 考点： 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象． 专题： 作图题；三角函数的图像与性质． 分析： （1）列表、描点即可用五点法作出函数y=Asin（ωx+φ）的图象； （2）结合函数图象即可直接写出函数f（x）的单调递增区间以及f（x）取最大值时的所有x值的集合． 解答： （1）列表：…（3分） 2x+   0 π 2π   x   y 1 3 1 ﹣1 1 描点、画图： …（8分） （2）f（x）的单调增区间是：（k∈Z）（可写开区间） f（x） 取得最大值时的所有x值的集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}…（12分）． 点评： 本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的图象和性质，属于基础题． 20. 过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标． 【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程． 【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分． 设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有， 又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以． 由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣） 所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0． 21. （10分）求经过直线l1：7x﹣8y﹣1=0和l2：2x+17y+9=0的交点，且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程． 参考答案： 考点： 两条直线的交点坐标；直线的点斜式方程． 专题： 计算题． 分析： 先解方程组求得交点的坐标，再利用垂直关系求出斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式． 解答： 由方程组， 解得，所以交点坐标为． 又因为直线斜率为， 所以，求得直线方程为27x+54y+37=0． 点评： 本题考查求两直线的交点的坐标的方法，两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程． 22. 已知f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）． （1）求实数a的值； （2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断． 【分析】（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函数f（x）=ln（ex）=x，经检验满足条件，故所求实数a的值为0． （2）根据f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，求出函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，可得λ的取值范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数， 令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（ex）=x． … 显然有f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0