湖南省岳阳市安定中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市安定中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是（　 ） A．        B．     　 C．       D． 参考答案： D ∵椭圆的端点为，离心率为，∴双曲线的离心率为， 依题意双曲线的实半轴，∴，，故选D． 2. 命题“，”的否定是（     ） A.，              B.， C.，              D.， 参考答案： 【知识点】命题.A2 【答案解析】D 解析：解：由命题的否定，可知全称量词要变成特称量词，所以D为正确选项. 【思路点拨】根据命题间的关系可变换，注意全称量词与特称量词的相应变化. 3. 若函数的图像关于点成中心对称，且，则函数为（     ） A．奇函数且在递增        B．偶函数且在递增  C．奇函数且在递减        D．偶函数且在递减 参考答案： C 略 4. 若集合，，则集合(      )． ．     ． ． ． 参考答案： C 略 5. 若函数在上既是奇函数，也是减函数，则的图像是（  ） 参考答案： A 6. O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（   ）     A．一定不共面     B．一定共面       C．不一定共面     D．无法判断 参考答案： B 7. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为 A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025 参考答案： A 【分析】 将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和． 【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：， 第二组：，， 第三组：，，， 第k组：，，，，， 根据等比数列前n项和公式， 求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，k， 总共的项数为， 当时，， 故该数列的前50项和为． 故选：A． 【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题． 8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 参考答案： D 9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若则当Sn取最小值时，n等于（    ）     A．6    B．7    C．8        D．9 参考答案： A 略 10. 已知向量满足，若向量共线，则的最小值为（     ）    A、1             B、             C、              D、2 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数  ，则满足方程的所有的的值为          ； 参考答案： 略 12. 已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 参考答案： 由，可得， 故为直角三角形，且， ∴． 由双曲线定义可得． ∵， ∴，可得． 又， 整理得． ∴． ∴， 又， ∴，即双曲线的离心率的取值范围为． 答案： 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中给出的双曲线的几何关系转化为关于基本量的方程或不等式，然后利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，解题时要注意平面几何知识的应用． 13. 已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an=2n，则使得Sn﹣nan+1+50＜0的最小正整数n的值为　  　． 参考答案： 5   【考点】数列的求和． 【分析】由已知利用错位相减法求得数列{nan}的前n项和为Sn，代入Sn﹣nan+1+50＜0，求解不等式得答案． 【解答】解：由an=2n，得an+1=2n+1， nan=n?2n， 则， ∴， 两式作差得： =， ∴， 则由Sn﹣nan+1+50＜0，得（n﹣1）?2n+1+2﹣n?2n+1+50＜0， 即2n+1＞52，∴n+1＞5，则n＞4． ∴最小正整数n的值为5． 故答案为：5． 　 14. 已知m∈R，向量＝(-7，m)，＝(2，)，且⊥，则||＝________． 参考答案： 8   15. 平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间 直角坐标系下平面的方程为_____________________________. 参考答案： Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0). 平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间 直角坐标系下平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0). 16. 若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=　　． 参考答案： 考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|． 解答： 解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i， ∴z===1+i， 故|z|=， 故答案为 ． 点评： 本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题． 17. 已知数列{an}的前n项和Sn，若an+1+（﹣1）nan=n，则S40=　　． 参考答案： 420 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知数列递推式可得a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2．取k=1，3，5，…，19，作和得答案． 【解答】解：由an+1+（﹣1）nan=n， ∴当n=2k时，有a2k+1+a2k=2k，① 当n=2k﹣1时，有a2k﹣a2k﹣1=2k﹣1，② 当n=2k+1时，有a2k+2﹣a2k+1=2k+1，③ ①﹣②得：a2k+1+a2k﹣1=1， ①+③得：a2k+2+a2k=4k+1， ∴a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2． ∴S40=4（1+3+…+19）+20=+20=420． 故答案为：420． 【点评】本题考查数列递推式，考查了数列前n项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km． （1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）求观光路线总长的最大值． 参考答案： 【考点】根据实际问题选择函数类型． 【专题】应用题；导数的综合应用． 【分析】（1）由题意得y=1?x+1?sin（﹣x）×2，化简并写出定义域（0＜x＜）； （2）求导y′=1﹣2cos（﹣x）以确定函数的单调性，从而求最大值． 【解答】解：（1）由题意得， y=1?x+1?sin（﹣x）×2 =x+2sin（﹣x），（0＜x＜）； 函数的定义域为{x|0＜x＜}； （2）y′=1﹣2cos（﹣x）， 令y′=0解得，x=， 故当x=时，观光路线总长最大， 最大值为+2×=+（km）． 【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题． 19. （本小题12分）六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰）,若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考试是否合格互不影响。 ①求某个学生不被淘汰的概率。 ②求6名学生至多有两名被淘汰的概率 ③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的分布列和数学期望。 参考答案： 1）正面：   ①两个项目都不补考能通过概率：                    ②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率： ③两个项目都要补考才能通过的概率： 反面（间接法）被淘汰的概率： 2） 3) 0 1 2 P 20. （本小题满分13分） 已知椭圆C的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程 （Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且       ?求证：的面积为定值       ?在椭圆上是否存在一点P，使为平行四边形，若存在，求出的取         值范围，若不存在说明理由. 参考答案： （Ⅰ）由题意得，，，又， 联立解得，椭圆的方程为.……………………3分 （Ⅱ）设，则A,B的坐标满足 消去y化简得， ， ，得 =。 ，，即 即 =。O到直线的距离 = ==   为定值. …………………………8分 （Ⅲ）若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则 设，则， 由于P在椭圆上，所以，从而化简得 化简得              （1） 由知              （2） 解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形.  ……………………13分 21. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C． （1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1； （2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何． 【分析】（1）证明A1C⊥面ABC1，即可证明：平面ABC1⊥平面A1ACC1； （2）证明AC⊥面ABB1A1，利用等体积转换，即可求三棱锥D﹣ABC1的体积． 【解答】（1）证明：在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB?面ABC， ∴A1A⊥AB， ∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1， 又BC1⊥A1C，BC1?面ABC1，AC1?面ABC1，BC1∩AC1=C1 ∴A1C⊥面ABC1， 而A1C?面A1ACC1，则面ABC1⊥面A1ACC1 … （2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1， ∴AB⊥AC， 则有AC⊥面ABB1A1， ∵D是线段BB1的中点， ∴．… 【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D﹣ABC1的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键． 22. 某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。 （1）求曲线的标准方程；（6分） （2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探