贵州省遵义市市第十六中学高三数学理上学期期末试题含解析

贵州省遵义市市第十六中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是   (     ） A．         B．       C．     D． 参考答案： B 2. 若a=30.6，b=log3 0.2，c=0.63，则（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 参考答案： A 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】利用指数函数与对数函数的性质可知，a＞1，b＜0，0＜c＜1．从而可得答案． 【解答】解：∵a=30.6＞a=3°=1，b=log30.2＜log31=0，0＜c=0.63＜0.60=1， ∴a＞c＞b． 故选A． 【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查有理数指数幂的化简求值，掌握指数函数与对数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题． 3. 命题p：关于x的不等式（e为自然对数的底数）的一切恒成立；命题q：；那么命题p是命题q的（     ） A．充要条件         B．充分不必要条件       C. 必要不充分条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 由题设可记，则， 显然在上单调递增，又， 故存在，使得， 当，， 当，， 所以，因为， 所以，记，知， 故，故得，又，故选C． 4. 下列函数中，在区间上为增函数的是(     )                        参考答案： 选 区间上为增函数，区间上为减函数              区间上为减函数，区间上为增函数 5. 已知为正实数,则 A.                B.         C.                 D. 参考答案： D 略 6. 已知，函数的定义域为集合，则=（   ）    A.         B.        C.           D. 参考答案： B 略 7. 已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．     D． 参考答案： D 8. 定义为个正数的“均倒数”． 若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则(　　) A．       B．    C．   D． 参考答案： C 依题意得：，∴，故可得，∴， ，再由裂项求和法，可得，故应选C． 9. 复数z=的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】解：复数z===﹣i﹣1的共轭复数=﹣1+i在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10. 已知，，则A∩B= (   ) A. {1,2,3} B. {1,2} C. (0,3] D. (3,4] 参考答案： A 【分析】 先求解集合,然后求解. 【详解】因为，， 所以.故选A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，若对任意有成立，则方程在上的解为           。 参考答案： 12. 函数的最小正周期T=　　． 参考答案： π 略 13. 已知函数（，）的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度所得图像关于轴对称，则        ． 参考答案： 14. 如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的焦点，其余四个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率为      ． 参考答案： 略 15. ，已知的平分线与交于点，则的外接圆面积是       ． 参考答案： 16. 已知直线（其中，）与圆交于点M、N，O是坐标原点，则__________，__________． 参考答案：        －10 【分析】 先求出圆心到直线的距离，再由相交弦长公式，求出；设的中点为，则有，利用，根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】由，可知， 圆心到直线的距离， ．   设的中点为，则， ， . 故答案为：；. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题. 17. 若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于                      参考答案： 13 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC； （II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P﹣EC﹣D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF． 由已知可得四边形BCNM是平行四边形， 所以F是BN的中点． 因为E是AB的中点， 所以AN∥EF．…（7分） 又EF?平面MEC，AN?平面MEC， 所以AN∥平面MEC．…（9分） （II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB． 又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD， 如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h）， =（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）． 则，∴， 令y=h，∴=（2h， h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1）， ∴cos＜，＞===，解得h=， ∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为． 【点评】本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力． 19. 已知函数有两个不同的零点. （1）求的取值范围； （2）设，是的两个零点，证明：. 参考答案： （1）【解法一】 函数的定义域为：. ， ①当时，易得，则在上单调递增， 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当时，令得：，则 + 0 - 增 极大 减 ∴. 设，∵，则在上单调递增. 又∵，∴时，；时，. 因此： （i）当时，，则无零点， 不符合题意，舍去. （ii）当时，， ∵，∴在区间上有一个零点， ∵， 设，，∵， ∴在上单调递减，则， ∴， ∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点. 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是. （1）【解法二】 函数的定义域为：.， ①当时，易得，则在上单调递增， 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当时，令得：，则 + 0 - 增 极大 减 ∴. ∴要使函数有两个零点，则必有，即， 设，∵，则在上单调递增， 又∵，∴； 当时： ∵， ∴在区间上有一个零点； 设， ∵，∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴， ∴， 则，∴在区间上有一个零点， 那么，此时恰有两个零点. 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是. （2）【证法一】 由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数； 当时，是减函数； 不妨设：，则：； 设，， 则： . 当时，，∴单调递增，又∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，在上单调递减， ∴，∴. （2）【证法二】 由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数； 当时，是减函数； 不妨设：，则：； 设，， 则 . 当时，，∴单调递增， 又∵，∴，∴， ∵， ∴， ∵，，在上单调递减， ∴，∴. 20. (12分) 设函数() (是一个无理数) (1) 若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围； (2) 设函数的两个极值点为和，记过点、的直线 的斜率为k，是否存在a， 使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由． 参考答案：   21. （本小题满分12分）如图, 多面体中, 平面,底面是菱 形,, 四边形是正方形. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； (3) 在线段上是否存在点,使得平面,若存在, 求出的值；若不存在, 说明理由. 参考答案： （1）详见解析（2） (3) 不存在 试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平面几何知识，本题寻找线线平行比较困难，因此利用面面平行进行论证线面平行，由于有两组线线平行及，可转化为线面平行平面及平面再转化为面面平行：平面平面，（2）由菱形对角相互垂直及 平面 ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解(3)利用空间向量研究线面垂直，即转为研究直线与法向量是否平行，而存在性问题转化为对应方程是否有解 （2）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形,取的中点， 所以，取的中点，连结，则, 因为平面，所以平面. 以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系．因为． 所以 所以设平面法向量为 则有得令．则设与平面所成的角为， 考点：面面平行性质定理，线面平行判定定理，利用空间向量求线面角，利用空间向量研究存在性问题 【方法点睛】(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 22. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C的参数方程； （Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程； （Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标． 【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ