浙江省舟山市市第二高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析

浙江省舟山市市第二高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若命题“”为假，且“”为假，则（  ） A  或为假   B  假 C真     D  不能判断的真假 参考答案： B 2. 设a > b > c，n∈N，且+≥恒成立，则n的最大值为（    ） （A）2         （B）3         （C）4         （D）5 参考答案： C 3. 已知直线与圆相切，则三条边长分别为的三角形（     ） A．是锐角三角形     B．是直角三角形     C．是钝角三角形     D．不存在 参考答案： B 4. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（  ） A. 4 B. 5 C. D. 参考答案： C 【分析】 求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案。 【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：， 由题可知求周长的最小值，即求的最小值， 设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知， 因此求的最小值即求的最小值， 根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小， 所以 又因为， 所以周长的最小值为， 故答案选C 【点睛】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题。 5. 已知函数，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据函数解析式求得，分别将和代入函数解析式和导函数解析式，进而求得结果. 【详解】由题意知： ， 本题正确选项：D 【点睛】本题考查函数值和导数值的求解问题，属于基础题. 6. 双曲线﹣=1的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求得双曲线的a，b，c，运用e=，计算即可得到所求值． 【解答】解：双曲线﹣=1的a=5，b=4，c==， 可得e==． 故选：C． 7. 如图1所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为的正方形，点P是ED的中点，则P点到平面EFB的距离为（  ） A.       B.       C.        D. 参考答案： B 8. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为(    ) A.[－，]    B.(－，)    C.     D. 参考答案： C 9. 用数学归纳法证明2n＞2n+1，n的第一个取值应是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】RG：数学归纳法． 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，命题是否成立；可得答案． 【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立； 结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=2×1+1=3，2n＞2n+1不成立， n=2时，左=22=4，右=2×2+1=5，2n＞2n+1不成立， n=3时，左=23=8，右=3×2+1=7，2n＞2n+1成立， 因为n≥3成立，所以2n＞2n+1恒成立． 所以n的第一个取值应是3． 故选：C． 10. 已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴 交点的横坐标为,则+++的值为 （ ） A．-1 B．1-log20132012 C．-log20132012 D．1 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为　　． 参考答案： 4 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得． 解答： 解：抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1． 设点P在准线上的射影为D， 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|， 要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小． 当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣1）=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键． 12. “”是“”的___________条件. （用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空） 参考答案： 13. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得﹣1分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为　_________　． 参考答案： 14. 对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是          ． 参考答案：          15. 经过点E( –，0 )的直线l，交抛物线C：y 2 = 2 p x ( p > 0 )于A、B两点，l的倾斜角为α，则α的取值范围是         ；F为抛物线的焦点，△ABF的面积为        （用p，α表示）。 参考答案： ( 0，)∪(，π )， 16. 设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则_         _。 参考答案： 略 17. 设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于          ． 参考答案：            由题意得|F1F2|=4。 设P 是两条曲线在第一象限内的交点， 则，解得。 在△PF1F2中，由余弦定理的推论得 。 答案： 点睛：椭圆（双曲线）上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆（双曲线）的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常运用圆锥曲线的定义，并结合利用正弦定理、余弦定理进行，解题时要注意通过变形将和看做一个整体，以减少运算量． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (Ⅰ)讨论函数的单调性； (Ⅱ)设，若对任意的，恒成立，求a的取值范围. 参考答案： (Ⅰ) (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减； (Ⅱ). 【分析】 （I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围. 【详解】(Ⅰ) , (1)若，则，函数在上单调递增； (2)若，由得；由得 函数在上单调递增；在上单调递减. (Ⅱ)由题设，对任意的恒成立 即对任意的恒成立 即对任意的恒成立 , 由(Ⅰ)可知， 若，则，不满足恒成立, 若，由(Ⅰ)可知，函数上单调递增；在上单调递减. ，又恒成立 ，即, 设，则 函数在上单调递增，且， ，解得 的取值范围为 . 19. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切。 （1）若直线截圆所得弦长为，求圆的方程。 （2）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线相切，我们称是这些圆的公切线。问：这些圆是否还有其他公切线？若有，求出另外的公切线的方程；若没有，说明理由. 参考答案： 解：设圆的圆心坐标为，则它的半径 (1) 到直线的距离，因而圆截该直线所得弦长为 ， 圆的方程为 （2） 略 20. 在数列{an}中，， （1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式； （2）证明这个数列的通项公式． 参考答案： 【考点】数列递推式． 【分析】（1）利用数列递推关系即可得出． （2）由原式两边取对数，利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：（1）在数列{an}中，∵a1=1，an+1=（n∈N+）． a1=1=，a2==，a3==，a4==，a5==，… ∴可以猜想，这个数列的通项公式是an=． （2）证明：由原式得==+， 所以数列{}是以1为首项，为公差的等差数列， 故=1+（n﹣1）=，从而an=． 21. （本题满分12分） 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能行使每公里的费用最少？ 参考答案： 解：设船速度为公里/小时（）时，燃料费用为元，则 由得，-----2分 所以总费用------6分 -----8分 令得 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增 ∴当时，取得最小值 答：轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小研究。-----12分 略 22. 如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=5，AA′=AB=6，D、E分别为AB和BB′上的点，且 =λ． （1）求证：当λ=1时，A′B⊥CE； （2）当λ为何值时，三棱锥A′﹣CDE的体积最小，并求出最小体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）λ=1时，平行四边形ABB′A′为正方形，DE⊥A′B，由已知得CD⊥AB，CD⊥A′B，由此能证明A′B⊥CE． （2）设BE=x，则AD=x，DB=6﹣x，B′E=6﹣x．C到面A′DE距离即为△ABC的边AB所对应的，从而，由此能求出当x=3时，即λ=1时，VA'﹣CDE有最小值为18． 【解答】（1）证明：∵λ=1，∴D．E分别为AB和BB′的中点 又AA′=AB，且三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱． ∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B… ∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，且三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱． ∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，… 又CD∩DE=D，∴A′B⊥平面CDE， ∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE．… （2）解：设BE=x，则AD=x，DB=6﹣x，B′E=6﹣x． 由已知可得C到面A′DE距离即为△ABC的边AB所对应的高，… ∴ == =（0＜x＜6），… ∴当x=3时，即λ=1时，VA'﹣CDE有最小值为18．…