2022-2023学年河南省南阳市第二职业高级中学高一数学理测试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市第二职业高级中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是R上的单调递增函数，则实数的取值范围(   ) A． B．   C．       D．   参考答案： D 略 2. 若函数的值域是，则的最大值是________. 参考答案： 略 3. 过点且垂直于直线 的直线方程为（  ）    A．                             B．    C．                             D． 参考答案： B 略 4. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（　　） A．（﹣，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣） 参考答案： B 【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．[来源:学科网] 【专题】计算题． 【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围． 【解答】解：要使函数有意义需， 解得﹣＜x＜1． 故选B． 【点评】本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题． 5. 已知，则下列不等式成立的是 A.            B.          C.             D. 参考答案： C 6. 函数的部分图像如图所示， 则其解析式可以是（     ） A．   B． C．     D．   参考答案： B 略 7. 函数f（x）=ax﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（　　） A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1） 参考答案： B 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题． 【分析】由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出y的值为5，故所求的定点是（1，5）． 【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+4=5， 即函数图象恒过一个定点（1，5）． 故选B． 【点评】本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标． 8. （   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项. 【详解】依题意，原式，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于基础题. 9. 若正四棱柱的底面边长为1，AB1与底面ABCD成 60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　） A．               B．1 C．               D． 参考答案： D 略 10. （5分）圆（x+2）2+（y+1）2=1关于直线y=x﹣1对称的圆的方程为（） A． x2+（y﹣3）2=1 B． x2+（y+3）2=1 C． （x﹣3）2+y2=1 D． （x+3）2+y2=1 参考答案： B 考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆． 分析： 根据圆的对称的性质求出对称圆的圆心即可． 解答： 圆（x+2）2+（y+1）2=1的圆心为C（﹣2，﹣1），半径r=1， 设圆心C（﹣2，﹣1）关于直线y=x﹣1对称的点的坐标为（a，b）， 则满足，解得a=﹣3，b=0，即对称圆的圆心为（﹣3，0）， 则对称圆的方程为x2+（y+3）2=1， 故选：B 点评： 本题主要考查圆的方程的求解，利用圆的对称性求出圆心坐标是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若集合满足，则实数             . 参考答案： 2 12. 已知等比数列{an}的公比为q，若，，则a1=_____；q=____． 参考答案：     3 【分析】 用通项公式代入解方程组. 【详解】因为，，所以， ，解得. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式. 13. 已知非空集合A={x|﹣1≤x≤a}，B={y|y=﹣2x，x∈A}，C={y|y=，x∈A}，若C?B，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： [﹣1+，+∞） 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；集合思想；分析法；集合． 【分析】根据条件先求出集合B，C，利用条件C?B，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：∵非空集合A={x|﹣1≤x≤a}，∴a≥﹣1， ∴B={y|y=﹣2x，x∈A}={y|y=﹣2x，﹣1≤x≤a}={y|﹣2a≤y≤2}， C={y|y=，x∈A}={y|≤y≤1}， ∵C?B， ∴， 解得a≥﹣1+ 故实数a的取值范围是[﹣1+，+∞）， 故答案为：[﹣1+，+∞）． 【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用集合之间的关系求出集合B，C是解决本题的关键，属于基础题． 14. 用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为____________． 参考答案： {(0，3)，(1，2)，(2，1)} 解析：集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．   15. =　　． 参考答案： ﹣4 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值． 【解答】解：原式====﹣4． 故答案为：﹣4． 16. 直线l过点（3，0），直线l过点（0， 4）；若l∥l且d表示l到l之间的距离，则d的取值范围是           。 参考答案： 17. 若数列{an}满足（，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________． 参考答案： 100 因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100． 点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分15分）如图，是长方形海域，其中海里，海里．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在处同时出发，沿直线、向前联合搜索，且（其中、分别在边、上），搜索区域为平面四边形围成的海平面．设，搜索区域的面积为． （1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；           （2）求的最大值，并指出此时的值． 参考答案： （1）在中，，           在中，， ∴   …5分 其中，解得： （注：观察图形的极端位置，计算出的范围也可得分．） ∴，      ………………8分 （2）∵，             ……………13分 当且仅当时取等号，亦即时， ∵   答：当时，有最大值．            ……………15分 19. （12分）有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间内的零件为一等品． （Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个． （ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求这2个零件直径相等的概率． 参考答案： 考点： 古典概型及其概率计算公式；等可能事件；等可能事件的概率． 专题： 概率与统计． 分析： （1）考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数，从10个零件中随机抽取一个共有10种不同的结果，而符合条件的由所给数据可知，一等品零件共有6个，由古典概型公式得到结果． （2）（i）从一等品零件中，随机抽取2个，一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有15种． （ii）从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等记为事件B，列举出B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．根据古典概型公式得到结果． 解答： （Ⅰ）由所给数据可知，一等品零件共有6个． 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==； （Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6． 从这6个一等品零件中随机抽取2个， 所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}， {A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}， {A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种． （ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}， {A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种． ∴P（B）=． 点评： 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力． 20. （本小题满分12分） 如图，DC⊥平面ABC，EB // DC，AC =BC = EB = 2DC=2，∠ACB＝120°， P，Q分别为AE，AB的中点。 (1)证明：PQ //平面ACD；    (2)求AD与平面ABE所成角的正弦值。 参考答案： 解：（1）因为P，Q分别为 AE，AB的中点，       所以PQ//EB．又DC//EB，因此PQ//DC，       从而PQ//平面ACD．……………………………………………5分      （2）如图，连接CQ， DP.     因为Q为AB的中点，且AC =BC，所以CQ⊥ AB.     因为DC⊥ 平面ABC，EB//DC，         所以EB⊥ 平面ABC.     因此CQ⊥ EB     故CQ⊥ 平面ABE.     由（1)有PQ//DC，又PQ＝EB＝DC，     所以四边形CQPD为平行四边形，     故DP// CQ ，     因此DP ⊥平面ABE，∠ DAP为AD和平面ABE所成的角．     在Rt ?DPA中，AD＝，DP＝1，     sin ∠ DAP＝     因此AD和平面ABE所成角的的正弦值为………………12分 略 21. 已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R． （1）求证：函数f（x）的图象与x轴有交点； （2）当a＞0时，求函数y=的定义域； （3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）利用分类讨论思想证明函数与x轴的交点． （2）进一步利用分类讨论思想求函数的定义域． （3）根据方程有四个交点确定最后解不等式组求的结果． 【解答】证明：（1）已知函数f（x）=ax2