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河南省濮阳市保成学校高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.> B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>siny D.x3>y3
参考答案:
D
【考点】指数函数的图象与性质;对数函数的图象与性质.
【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.
【解答】解:∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,
A.若x=1,y=﹣1时,满足x>y,但==,故>不成立.
B.若x=1,y=﹣1时,满足x>y,但ln(x2+1)=ln(y2+1)=ln2,故ln(x2+1)>ln(y2+1)不成立.
C.当x=π,y=0时,满足x>y,此时sinx=sinπ=0,siny=sin0=0,有sinx>siny,但sinx>siny不成立.
D.∵函数y=x3为增函数,故当x>y时,x3>y3,恒成立,
故选:D.
【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.
2. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为:,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列为“斐波那契”数列,为数列的前项的和,若,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 若,则
A. B. C. D.
参考答案:
B【知识点】复数的有关概念与运算. L4
解析:
【思路点拨】根据共轭复数、复数的模、复数积得意义求解.
4. 已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,点为双曲线左支上任一点,自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|= ( )
A.1 B.2 C.4 D.
参考答案:
A
5. 甲、乙、丙、丁四人每人购买了2张社会福利彩票,若这8张彩票中获一、二、三等奖的各一张,则不同的获奖可能共有
A.16种 B.36种
C.42种 D.60种
参考答案:
D
6. 函数的图像只可能是
参考答案:
A
7. 一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
A
略
8. 下列命题中正确的是( )
A.的最小值是2 B.的最小值是2
C.的最大值是 D.的最小值是
参考答案:
C
9. 已知函数的图象关于点(1,2)对称,若函数有四个零点则 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
B
10. 已知三次函数f(x)=ax3-x2+x在存在极大值点,则a的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
14. 椭圆的左右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____
参考答案:
-1
12. 已知 ,则 。
参考答案:
答案:
解析:已知 ,,,
,,
则=
=
13. 函数满足,,当时,,过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有3个交点,则的取值范围为_________.
参考答案:
∵,,
∴,即,
∴函数的周期为.
由时,,
则当时,,故,
因此当时,.
结合函数的周期性,画出函数图象如下图所示.
又过点且斜率为的直线方程为.
结合图象可得:
当时,.与联立消去整理得,
由,得或(舍去),
此时,故不可能有三个交点;
当时,点与点连线的斜率为,
此时直线与有两个交点,又,
若同相切,将两式联立消去整理得,
由,得或 (舍去),
此时,
所以当时有三个交点.
综上可得的取值范围为.
14. 若f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(2﹣x),则f(2)= .
参考答案:
﹣2
分析: f(x)为奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),由已知得到f(﹣2),再由f(2)=﹣f(﹣2),即可得到结论.
解答: 解:f(x)为奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),
当x<0时,f(x)=log2(2﹣x),
则f(﹣2)=log2(2+2)=2,
则f(2)=﹣f(﹣2)=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,注意运用定义和已知的解析式,考查运算能力,属于基础题.
15. 如图, 是以为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形内”,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”,则(1);(2)
参考答案:
;
略
16. 若不等式与不等式的解集相同,则
参考答案:
17. 执行如图所示程序框图,输出结果S= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 以椭圆C:=1(a>b>0)的中心O为圆心,以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C及其“伴随”的方程;
(2)过点P(0,m)作“伴随”的切线l交椭圆C于A,B两点,记△AOB(O为坐标原点)的面积为S△AOB,将S△AOB表示为m的函数,并求S△AOB的最大值.
参考答案:
考点:直线与圆锥曲线的综合问题.
专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:(1)由椭圆C的离心率,结合a,b,c的关系,得到a=2b,设椭圆方程,再代入点,即可得到椭圆方程和“伴随”的方程;
(2)设切线l的方程为y=kx+m,联立椭圆方程,消去y得到x的二次方程,运用韦达定理和弦长公式,即可得到AB的长,由l与圆x2+y2=1相切,得到k,m的关系式,求出三角形ABC的面积,运用基本不等式即可得到最大值.
解答: 解:(1)椭圆C的离心率为,即c=,
由c2=a2﹣b2,则a=2b,
设椭圆C的方程为,
∵椭圆C过点,∴,
∴b=1,a=2,以为半径即以1为半径,
∴椭圆C的标准方程为,
椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1.
(2)由题意知,|m|≥1.
易知切线l的斜率存在,设切线l的方程为y=kx+m,
由得,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则,.
又由l与圆x2+y2=1相切,所以,k2=m2﹣1.
所以
=,
则,|m|≥1.
(当且仅当时取等号)
所以当时,S△AOB的最大值为1.
点评:本题考查椭圆的方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数,运用韦达定理和弦长公式的运用,考查直线与圆相切的条件,考查运算能力,属于中档题.
19. (本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,己知,
.
(I)若,求△ABC的面积;
(Ⅱ)求的值。
参考答案:
20. 已知两条直线l1:y=m和 l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.
(1)当m变化时,试确定=f(m)的表达式;
(2)求出=f(m)的最小值.
参考答案:
【分析】(1)首先设出点的坐标,然后结合对数的运算法则得到函数的解析式即可;
(2)结合(1)的结论和均值不等式的性质整理计算即可求得最终结果.
【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
由题意知:,
又因为 log2x2=m,∴,∴.
则:.
(2)由(1)可知:,
当且仅当,即时取得最小值.
【点评】本题考查对数的运算法则,均值不等式求最值等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
21. (本小题满分14分)
已知函数(a∈R).
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在[1,2]上有且仅有一个零点,求a的取值范围;
(3)已知当x>-1,n≥1时,,求证:当n∈N*,x2 0时,在上单调递减,在上单调递增. 4分
(2)解:由,得 5分
考查函数 (x∈[1,2]),则 6分
令,
当1≤x≤2时,,∴在[1,2]上单调递增 7分
∴, ,∴在[1,2]上单调递增
∴在[1,2]上的最小值为,最大值为 8分
∴当时,函数在[1,2]上有且仅有一个零点 9分
(3)解: 10分
由(1)知,则 11分
∵,且n∈N*,∴,∴ 12分
又∵,∴ 13分
14分
22. 设数列的首项, 前n项和为Sn , 且满足( n∈N*).
(1)求及;
(2)求满足的所有的值.
参考答案:
(1) 解: 由 , 得, 又,所以.
由, (n≥2)相减, 得 , 又 ,
所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.因此( n∈N*)…6分
(2) 由题意与(Ⅰ), 得, 即
因为 , , 所以n的值为3, 4. ……………12分
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