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河北省石家庄市东后中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的部分图象如下图所示,则函数的解析式为( ).[KS5UKS5U.KS5U
A. B.
C. D.
参考答案:
D
2. 已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A 解析:对称轴
3. 设,且则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中随机摸出2个球,则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是( )
A.没有白球 B.2个白球
C.红、黑球各1个 D.至少有1个红球
参考答案:
C
从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有:
2个红球,2个白球,1红1黑,1红1白,1黑1白共五种情况
则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球,黑球各一个包括1红1白,1黑1白两种情况。
5. 已知函数是幂函数,对任意,且,满足.若,且,则的值( ).
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
参考答案:
A
函数是幂函数,则,有或,当时, ,当时,,对任意,且,满足,说明函数在上为增函数,所以,为奇函数且在上是增函数,若,且,则,有,选A.
6. 如果二次函数有两个不同的零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D 解析:或
7. 函数的最小正周期为 ( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 以下四个命题中,真命题的个数是
①“若,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题;
② 存在正实数a,b,使得;
③;
④ 函数是奇函数,则的图像关于(1,0)对称.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
D
【分析】
①:写出命题的逆命题,然后判断真假;
②:判断方程有无正实数解即可;
③:通过不等式的性质可以判断出是否正确;
④:通过函数图像的平移可以判断出该命题是否正确.
【详解】①:“若,则中至少有一个不小于1”的逆命题是:若中至少有一个不小于1,则.显然当符合条件,但是不成立,故本命题是假命题;
②:由可得,显然当时,等式成立,所以本命题是真命题;
③:,所以本命题是真命题;
④:因为函数是奇函数,所以函数的图像关于原点对称,
函数的图像向右平移一个单位长度得到图像,因此的图像关于(1,0)对称.,所以本命题是真命题,故一共有三个命题是真命题,故本题选D.
【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了对数的运算、函数的对称性、逆命题、不等式等相关知识.
9. 若函数的图象不经过第二象限,则有
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M、N分别在AB1、BC1上,且,则下列结论①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④B1D1⊥MN中,正确命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
C
【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】先把点M,N放入与平面A1B1C1D1平行的平面GFEH中,利用线面垂直的性质判断①正确,利用平行公理判断②错误,利用面面平行的性质判断③正确,利用面面平行以及线线垂直的性质判断④错误,就可得到结论.
【解答】解;在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的四条棱A1A,B1B,C1C,D1D上分别取点G,F,E,H四点,
使AG=A1A,BF=B1B,CE=C1C,DH=D1D,连接GF,FE,EH,HG,
∵点M、N分别在AB1、BC1上,且,
∴M在线段GF上,N点在线段FE上.且四边形GFEH为正方形,平面GFEH∥平面A1B1C1D1,
∵AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AA1⊥平面GFEH,∵MN?平面GFEH,∴AA1⊥MN,∴①正确.
∵A1C1∥GE,而GE与MN不平行,∴A1C1与MN不平行,∴②错误.
∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1,MN?平面GFEH,∴MN∥平面A1B1C1D1,∴③正确.
∵B1D1∥FH,FH?平面GFEH,MN?平面GFEH,B1D1?平面A1B1C1D1,平面GFEH∥平面A1B1C1D1,
且MN与FH不平行,∴B1D1不可能垂直于MN,∴④错误
∴正确命题只有①③
故选C
【点评】本题主要考查立体几何中,线线,线面,面面平行与垂直性质的应用,考查了学生推论能力.空间想象力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-17,a4+a6=-10,则当Sn取最小值时,n的值为 .
参考答案:
6
略
12. 定义,若,,则函数在的单调性是__________.(填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中之一即可)
参考答案:
先增后减
由定义结果为,的较小者,
单调递减,,
单调递增,,又,
∴,,,,
,,,
∴在先增后减.
13. 若集合M={x| x2+x-6=0},N={x| kx+1=0},且NM,则k的可能值组成的集合为
参考答案:
{0,,}
略
14. 已知与圆相外切,则
参考答案:
15. 若,则=_________
参考答案:
∵,
∴f(x)+f(1﹣x)=+
=+
==1,
∴
=500×[+]
=500.
故答案为:500.
16. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象如图所示,则f(0)=_______.
参考答案:
-
略
17. 下列结论中:
① 当且时,;
② 当时,的最大值为;
③ ;
④ 不等式的解集为
正确的序号有 。
参考答案:
②④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(I)求m的取值范围;
(II)当m=﹣11时,若圆C与直线x+ay﹣4=0交于M,N两点,且∠MCN=120°,求a的值.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(I)利用D2+E2﹣4F>0,求m的取值范围;
(II)利用∠MCN=120°,得到,即可求a的值.
【解答】解:(I)由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m>0,可得m<5…
(II)∵m=﹣11,∴(x﹣1)2+(y﹣2)2=16,
圆心C(1,2),半径r=4…(8分)
∵∠MCN=120°,∴,即
解得,…(10分)
【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的运用,属于中档题.
19. 已知点G是△ABC的重心,.
(1)用和表示;
(2)用和表示.
参考答案:
(1)(2).
【分析】
(1)设的中点为,可得出,利用重心性质得出,由此可得出关于、的表达式;
(2)由,得出,再由,可得出关于、的表达式.
【详解】(1)设的中点为,则,,
为的重心,因此,;
(2),,
因此,.
【点睛】本题考查利基底表示向量,应充分利用平面几何中一些性质,将问题中所涉及的向量利用基底表示,并结合平面向量的线性运算法则进行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
20. (本小题满分12分)在△ABC中,BC=a,AC=b,且a, b是方程x2-2x+2=0的两根,2 cos(A+B) =1,
求: (Ⅰ)角C的度数; (Ⅱ)求AB的长; (Ⅲ)△ABC的面积.
参考答案:
21. (10分)已知函数f(x)=3x,g(x)=|x+a|﹣3,其中a∈R.
(Ⅰ)若函数h(x)=f[g(x)]的图象关于直线x=2对称,求a的值;
(Ⅱ)给出函数y=g[f(x)]的零点个数,并说明理由.
参考答案:
【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)函数h(x)=f[g(x)]=3|x+a|﹣3 的图象关于直线x=2对称,则h(4﹣x)=h(x)?|x+a|=|4﹣x+a|恒成立?a=﹣2;
(Ⅱ)函数y=g[f(x)]=|3x+a|﹣3的零点个数,就是函数G(x)=|3x+a|与y=3的交点,
分①当0≤a<3时;②当a≥3时;③﹣3≤a<0时;④当a<﹣3时,画出图象判断个数.
【解答】解:(Ⅰ)函数h(x)=f[g(x)]=3|x+a|﹣3 的图象关于直线x=2对称,则h(4﹣x)=h(x)?|x+a|=|4﹣x+a|恒成立?a=﹣2;
(Ⅱ)函数y=g[f(x)]=|3x+a|﹣3的零点个数,就是函数G(x)=|3x+a|与y=3的交点,
①当0≤a<3时,G(x)=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个,即函数y=g[f(x)]的零点个数为1个(如图1);
②当a≥3时,G(x)=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点,即函数y=g[f(x)]的零点个数为0个(如图1);
③﹣3≤a<0时,G(x)=|3x+a|与y=3的交点只有1个(如图2);
④当a<﹣3时,G(x)=|3x+a|与y=3的交点有2个(如图2);
【点评】本题考查了函数的零点,把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法,属于中档题.
22. (本小题满分16分)已知二次函数的图象经过点(0,3),对任意实数x满足,且函数的最小值为2.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数,其中,求函数在区间[0,2]上的最小值;
(3)若在区间[1,3]上,函数的图象恒在函数的图象上方,试确定实数m的取值范围.
参考答案:
解:(1)由对任意实数满足,得二次函数的图象关于直线对称,又函数的最小值为2.因此可设().又二次函数的图象经过点(0,3),所以,解得.所以.………………5分
(2)由(1)知,,则.
当时,函数在区间[0,2]上单调递增,所以;
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以;
当时,函数在区间[0,2]上单调递减,所以.
综上所述,函数在区间[0,2]上的最小值 ……………………10分
(3)由题意,得对恒成立,∴对恒成立.
∴().
设().则,而,所以.所以实数的取值范围是. …………………………………16分
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