浙江省丽水市云和县第三高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

浙江省丽水市云和县第三高级中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数（）在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 2. 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（   ） A．         B．       C.          D． 参考答案： B 3. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有（    ）种 A.15 B.18 C.19 D.21 参考答案： B 略 4. 设奇函数在（0，+∞）上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）        A．（-1,0）∪（1，+∞）                                B．（-∞，-1）∪（0,1）        C．（-∞，-1）∪（1，+∞）                           D．（-1,0）∪（0,1） 参考答案： D 略 5. 等边三角形ABC的边长为1，，，，那么等于（    ） A．3                 B．-3              C．              D． 参考答案： D． 试题分析：由平面向量的数量积的定义知， ． 故应选D． 考点：平面向量的数量积． 6. 已知,则与的夹角为                                   (　　) A.   B．                 C．                    D. 参考答案： C 略 7. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（  ） A．        B．       C. (0,2]        D．[2,+∞) 参考答案： A 8. 已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为(     ) A．或       B．或          C．或        D．或 参考答案： D 略 9. 若命题“?x，y∈(0，＋∞)，都有(x＋y)≥9”为真命题，则正实数a的最小值是(　　) A．2  B．4  C．6  D．8 参考答案： B 略 10. 在△ABC中，，，且，则取值范围是（   ） A. [－2,1) B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由，可以得到，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形，根据，可知平行四边形是菱形，这样在中，可以求出菱形的边长，求出的表达式，利用，构造函数，最后求出的取值范围. 【详解】，以为邻边作平行四边形，如下图： 所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中， ， 设， 所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D. 【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数，则________. 参考答案： 略 12. 如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为　  　． 参考答案： 4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，|EG|=y2﹣2y1=y2+，利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴|EG|=y2﹣2y1=y2+≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4， 故答案为4． 【点评】本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 　 13. .展开式中的系数为__________． 参考答案： -26. 【分析】 由二项式的展开式的通项为，进而可得展开式中的系数为，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 所以展开式中的系数为. 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14. 已知向量满足：，且，则向量与的夹角是 ___________. 参考答案： 15. 阅读右侧程序框图，则输出的数据为_____. 参考答案： 略 16. 设函数f（x）=xm+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n项和为          ． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由题意求出数列通项，观察通项特点，裂项求和． 【解答】解：∵f'（x）=（xm+ax）′′=mxm﹣1+a=2x+1， ∴m=2，a=1， ∴f（x）=x2+x， ∴数列的前n项和为=（）+（）+…+（） == 故答案为： 【点评】若数列的通项公式为型时，可首先考虑裂项相消求和． 17. 若直线（t为参数）与直线垂直，则常数=      . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和Tn； （Ⅲ）数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=3．若不等式对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；函数恒成立问题． 【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出； （II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出； （III）利用“累加求和”可得bn，由不等式，化为t＞+n﹣1，再利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（I）∵Sn=2an﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，化为an=2an﹣1， ∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为2． ∴an=2n﹣1． （II）=． ∴数列的前n项和Tn=+…+， ∴=…++， ∴=1+2﹣=﹣1﹣=3﹣， ∴Tn=6﹣． （III）∵数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=3． ∴bn+1﹣bn=an=2n﹣1， ∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1 =2n﹣2+2n﹣3+…+1+3 =+3 =2n﹣1+2． 不等式， 化为n﹣1＜+t， ∴t＞+n﹣1， 令g（n）=+n﹣1=﹣+≤g（3）=， ∴． ∴实数t的取值范围是． 19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足 . （Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式an ; （Ⅱ） 若数列{bn}满足，设Tn是数列的前n项和。求证： . 参考答案： (1)由Sn＋2n＝2an得Sn＝2an－2n， 当n∈N*时，Sn＝2an－2n，① 当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2，                      ………………..1分 则当n≥2，n∈N*时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)。② ①－②，得an＝2an－2an－1－2，                        ………………….2分 即an＝2an－1＋2，                                  …………………………3分 所以an＋2＝2(an－1＋2)，所以 ，                        ……….4分 所以{an＋2}是以a1＋2为首项，以2为公比的等比数列。          …………..5分 所以an＋2＝4·2n－1，所以an＝2n＋1－2。                 ………………………6分 (2) 由bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，得 ，         …………….7分 则 ，③                                    ………….8分 ，④                                       ………..9分 ①－④，得                     …………….10分                ………..11分 所以                                             …………12分 20. 设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【专题】规律型． 【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围． 【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立， 若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立． 若a≠0，则满足条件， 即，解得，即a＞2，所以p：a＞2． ∵g（x）=3x﹣9x=﹣（）， ∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立， 则a，即q：a． 要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题． 当p，q都为真命题时，满足，即a＞2， ∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2， 即实数a的取值范围是a≤2． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧． 21. （本小题满分12分）在中，分别为角的对边，△ABC的面积S满足。（1）求角的值； （2）若，设角的大小为用表示，并求的取值范围． 参考答案： （1）在中，由，得……………3分 ∵　　∴………………………………5分 （2）由及正弦定理得：，………………………………7分 ∴…………………………………9分 ∵    ∴    ∴………………………………………10分 ∴，，即 ……………………………12分 22. 已知函数． （1）当a为何值时，x轴为曲线的切线； （2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数． 参考答案： (1) (2)见解析 【分析】 （1）求得的导数，设切点为，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和导数，讨论当时，当时，当时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数． 【详解】（1）的导数为， 设切点为，可得， 即， 解得； （2）， 当时，，在（0，1）递增，可得 ，，有一个零点； 当时，，在（0，1）递减，， 在（0，1）无零点； 当时，在（0，）递增，在（，1）递减， 可得在（0，1）的最大值为， ①若＜0，即，在（0，1）无零点