山西省吕梁市孟门镇中学高二数学理下学期期末试题含解析

山西省吕梁市孟门镇中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 试题分析：，在复平面内对应的点为，位于第一象限．故A正确． 考点：复数的运算． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 直接利用三视图转换为几何体，可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的体积． 【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球， 所以：球的半径， 则：. 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查数学运算能力和转换能力. 3. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，⊥，∠=，则的离心率为（     ） A.       B．        C．       D. 参考答案： D 略 4. 已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（　　） A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z， 此直线在y轴截距最小时，z最大， 由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2； 故选C 　 5. 在二项式的展开式中，x2项的系数为（　　） A．8 B．4 C．6 D．12 参考答案： A 【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求得二项式式的展开式中x2的系数． 【解答】解：由Tr+1=C4rx4﹣r?（）r=2rC4rx4﹣2r， 令r=1，可得二项式的展开式中的x2系数为：2C41=8． 故选：A． 6. 直线与圆的交点个数为（   ） A．1         B．2           C．0或2          D．1或2 参考答案： B 7. 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 参考答案： 解：（1）解：的所有可能取值为0，1，2．         …………1分 依题意得： ξ 0 1 2 P   ………………4分   ∴　　　Eξ＝0×＋1×＋2×＝1                           ……………………6分 （2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙也被选中”为事件B。 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．        …………………12分 解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件， 从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为，           ………8分 男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为，      ………………………………10分 ∴． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．          ………………12分   略 8. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（    ） A、总体是240                 B  个体是每一个学生 C、样本是40名学生            D  样本容量是40 参考答案： D 9. 已知正数、满足，则的最小值是       （    ） Ａ．18　　　   Ｂ．16　　　     C．8　       D．10 参考答案： A 10. 如图，输入n=5时，则输出的S=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的n的值为5， 第一次执行循环体后，S=，i=1，满足继续循环的条件，i=2； 第二次执行循环体后，S=，i=2，满足继续循环的条件，i=3； 第三次执行循环体后，S=，i=3，满足继续循环的条件，i=4； 第一次执行循环体后，S=，i=4，满足继续循环的条件，i=5； 第一次执行循环体后，S=，i=5，不满足继续循环的条件， 故输出的S值为：， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列结论中正确的有       （1）当时，的最小值为2           （2）时，无最大值 （3）当时，                    （4）当时， 参考答案： （4） 12. 由曲线，直线所围成的封闭图形的面积为________． 参考答案： 【分析】 画出曲线和直线的图像，求得交点的纵坐标，然后根据定积分求得封闭图形的面积. 【详解】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图： 由，得，或， 所以根据积分的几何意义可知所求的几何面积： ， 故答案为：． 【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 13. 已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=　　． 参考答案： 3 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，由此能得到b的值． 【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且． ∴|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，， ∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2， ∴36=4（a2﹣c2）=4b2， ∴b=3． 故答案为3． 【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识． 14. 已知定义在R上的函数,其图象为连续不断的曲线，且满足, ,　若,则               参考答案： 略 15. 已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是                  ． 参考答案： （1，2]∪[3，+∞） 【考点】复合命题的真假． 【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出． 【解答】解：命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根． ∴，解得m＞2． 命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得：1＜m＜3． 若“P或Q”为真，“P且Q”为假， ∴P与Q必然一个为真一个为假． ∴或， 解得1＜m≤2，或m≥3． 则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）． 故答案为：（1，2]∪[3，+∞）． 16. 如果复数为纯虚数，则a=　　． 参考答案： ﹣2 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值． 【解答】解：∵为纯虚数， ∴，即a=﹣2． 故答案为：﹣2． 17. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,, 若对一切成立,则的取值范围为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）已知空间四边形ABCD，BC=BD,AC=AD,E是CD边的中点.在AE上的一个动点P，讨论BP与CD是否存在垂直关系，并证明你的结论． 参考答案： 连接BE，BP与CD满足垂直关系.              ……………2分 因为BC=BD,E是CD中点，所以CD⊥BE           ……………4分 又因为AC=AD，E是CD中点，所以CD⊥AE       ……………6分 所以CD⊥平面ABE                               ……………8分 又因为BP是平面ABE内的直线，所以CD⊥BP      ……………10分 19. 在平面直角坐标系中，有两定点和两动点，且，直线与直线交点轨迹为曲线 （Ⅰ）求曲线的方程；          （Ⅱ）若直线分别与直线交于，在曲线上是否存在点，使得△的面积是△面积的4倍，若存在，求出点的横坐标，若不存在，说明理由． 参考答案： （Ⅰ）因为，所以，设直线的方程为，直线的方程为，所以（5分）. （Ⅱ）假设存在则有 ，所以|EC|·|ED|=4|EA|·|EB|， 所以 (8分). 设，则,或． 所以存在这样的点，它的横坐标为或(12分) 20. 已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点； （1）求线段AB的垂直平分线的方程； （2）若|AB|=2，求m的值； （3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，可得线段AB的垂直平分线的方程． （2）利用|AB|=2，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求m的值． （3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1， ∴方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0； （2）圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=﹣m+5， ∵|AB|=2，∴圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线的距离为d==，∴，∴m=1 （3）由题意，知点P（4，4）不在圆上． ①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4=0．由圆心到切线的距离等于半径，得=2， 解得k=，所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0 ②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4 综上，所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0． 21. 设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n． （1）当m=n=5时，若，求a0+a2+a4的值； （2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值． 参考答案： 【考点】二项式系数的性质． 【分析】（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5，令x=0时，x=2时，代入相加即可得出． （2）由题意可得： =m+n=9．x2系数===+．利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5，令x=0时，f（0）=a5+a4+…+a1+a0=2， 令x=2时，f（0）=﹣a5+a4+…﹣a1+a0=2×35， 相加可得：a0+a2+a4==244． （2）由题意可得： =m+n=9． x2系数=====+． 又m，n∈N，∴m=4或5，其最小值为16． 即或时，x2系数的最小值为16． 22. 已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1）