湖南省常德市临第三中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省常德市临第三中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（　　），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（　　） A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8 参考答案： C 【考点】频率分布直方图． 【分析】根据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可． 【解答】解：由茎叶图知，这组数据共有7个，按从小到大的顺序排在中间的是88，所以中位数是88； 去掉一个最高分94和一个最低分79后， 所剩数据为84，85，88，88，89， 它们的平均数为（84+85+88+89）=86.8． 故选：C． 【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据，求中位数和平均数的应用问题，是基础题． 2. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（    ） (A)    (B)     (C)     (D) 参考答案： A 3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若成等差数列，且，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由成等差数列可把公比算出，再把换成和的关系即可。 【详解】是等差数列，显然公比不为1， 【点睛】本题主要考查了等差中项，等比数列前项和，等比数列中和之间的关系，整体代换的思想，属于基础题。 4. 已知角的终边经过点，且，则 A.     B.             C.               D. 参考答案： A 5. 如图，在正三棱柱中已知，在棱上，且，若与平面所成的角为，则的余弦值为 A．                                   B．     C．                                 D．  参考答案： D 6. 已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x| 0＜x＜4}，则集合＝（    ） （A）{x| 0＜x＜2} （B）{x|－1＜x ≤ 0} （C）{x| 2＜x＜4} （D）{x|－1＜x＜0} 参考答案： B 7. 设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（　　） 　 A． 若a⊥b，a⊥α，则b∥α B． 若a∥α，α⊥β，则a⊥β 　 C． 若a⊥β，α⊥β，则a∥α D． 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β 参考答案： D 8. 已知函数为奇函数,且当时, 则 （    ） A. B.   C. D. 参考答案： A 略 9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2+bc，则角A等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 10. 已知复数满足，则的虚部为 A．    B．    C．   D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 两条直线l1：3x﹣4y+9=0和l2：5x+12y﹣3=0的夹角大小为　　． 参考答案： 考点： 两直线的夹角与到角问题． 专题： 直线与圆． 分析： 先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值，即可求得两条直线的夹角． 解答： 解：设两条直线l1：3x﹣4y+9=0的斜率为k，l2：5x+12y﹣3=0的斜率为k′， 这两条直线的夹角为θ，0≤θ≤，则 k=，k′=﹣． 由两条直线的夹角公式可得 tanθ=||=，∴θ=arctan， 故答案为 arctan． 点评： 本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数的应用，属于中档题． 12. 在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为　　（用数字作答）． 参考答案： 120 【考点】二项式系数的性质． 【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数． 【解答】解：（2+x）5的展开式的通项是 ， 所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中， 含x3的项为， 所以x3的系数为120． 故答案为：120． 13. 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计 如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____. 参考答案： 乙 14. 定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于f(x)的判断： ①关于点P()对称         ②的图像关于直线对称； ③在[0，1]上是增函数；         ④. 其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上) 参考答案： （1）（2）（4） 略 15. 若，则的大小关系是______． 参考答案： 试题分析：又 考点：指数函数、对数函数的性质 16. 若x, y满足约束条件则点P(x, y)构成的区域的面积为     ；的最大值为          ． 参考答案： 1； 试题分析： 画出可行域如图所示, . 可得可行域的面积为; 表示可行域内的点与点连线的斜率,由图观察可知当点与点重合时此时直线的斜率最大,即. 考点：线性规划. 17. 在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），，曲线（为参数），若曲线C1、C2有公共点，则实数的取值范围为               ． 参考答案： 曲线的方程为，曲线方程为，圆心为，半径为2，若曲线C1、C2有公共点，则有圆心到直线的距离，即，所以，即实数的取值范围是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线的焦点F到准线距离为2. （1）若点，且点P在抛物线C上，求的最小值； （2）若过点的直线l与圆相切，且与抛物线C有两个不同交点A，B，求的面积. 参考答案： (1)2(2) 【分析】 （1）由抛物线图像的几何特征可知，设点到抛物线准线的距离分别为，因为点在抛物线上，所以到准线距离与到焦点距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值. （2）应用设而不求法，设直线的方程为：，将与联立，结合韦达定理与弦长公式以及点到直线的距离公式求出三角形面积. 【详解】解：（1）根据题意可知 所以抛物线方程为 则抛物线焦点为，准线为； 记点到抛物线准线的距离分别为， 故，等号成立当且仅当PE垂直于准线， 故的最小值为 （2）设 ， 由题意知，直线斜率存在，设直线的方程为： 将与联立得， 由韦达定理得， 由到直线的距离为得：， 又 点到直线的距离为 所以 【点睛】圆锥曲线是高考的重要考点，求圆锥曲线的标准方程时要注意焦点位置. 设而不求法的一般过程（1）设出直线方程（注意斜率是否存在）和交点坐标， （2）将直线方程和圆锥曲线方程联立（3）应用韦达定理（4）结合题目计算整理 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知，CD＝4，。 （Ⅰ）若，求证：CE⊥平面PDE； （Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积． 参考答案： 考点：立体几何综合 试题解析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，，， ∴ 又AB＝CD＝4，∴BE＝3． 在Rt△EBC中，，∴，∴． 又，∴，即CE⊥DE． ∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD， ∴PD⊥CE． ∴CE⊥平面PDE． （Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE， ∴平面PDE⊥平面ABCD． 如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE， ∴AF就是点A到平面PDE的距离，即． 在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得 ，解得AE＝2． ∴， ， ∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD， ∵PA平面PAD，∴BA⊥PA． 在Rt△PAE中，AE＝2，， ∴． ∴三棱锥A-PDE的侧面积．   20. 已知椭圆过点,离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线 于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值. 参考答案： 解：（Ⅰ）依题得解得，. 所以椭圆的方程为.   …………………………………………………4分 （Ⅱ）根据已知可设直线的方程为. 由得. 设,则. 直线，的方程分别为：， 令， 则,所以. 所以 .  ……………………………………………………14分   略 21. 设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m． （Ⅰ）作出函数f（x）的图象； （Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）利用分段函数，化简函数的解析式，从而作函数的图象，结合图象，求得函数的最大值m． （Ⅱ）由题意可得a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2），利用基本不等式求它的最值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=， 画出图象如图， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=﹣时，函数f（x）取得最大值为m=． ∵a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc， ∴ab+2bc≤，当且仅当a=b=c=1时，取等号， 故ab+2bc的最大值为． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，作函数的图象，利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 22. 已知正项数列， ⑴求证：是等差数列；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                  ⑵若，求数列的前项和。 参考答案： 解析：⑴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴  所以是等差数列 ⑵由⑴知：解得 ∴，则 ∴是以为首项，为公差的等差数列 ∴数列的前项和为