新高考数学一轮复习讲义3.1《导数的概念及运算》(原卷版)

§3.1　导数的概念及运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数. 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度. 1．平均变化率 一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ . (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 ．相应地，切线方程为 ． 3．函数f(x)的导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x) ．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为 或y′(或y′x)． 4．基本初等函数的导数公式表 y＝f(x) y′＝f′(x) y＝c y′＝0 y＝xn(n∈N＋) y′＝nxn－1，n为正整数 y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y′＝μxμ－1，μ为有理数 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln a y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y′＝ y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x 5.导数的四则运算法则 设f(x)，g(x)是可导的，则 (1)(f(x)±g(x))′＝ ； (2)[f(x)g(x)]′＝ ； (3)′＝(g(x)≠0)． 6．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 概念方法微思考 1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　 　) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　 　) (3)(2x)′＝x·2x－1.(　 ) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　 　) 题组二　教材改编 2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________. 3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为____________． 题组三　易错自纠 4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________． 题型一　导数的计算 1．已知f(x)＝sin ，则f′(x)＝________. 2．已知f(x)＝ln ，则f′(x)＝________. 3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝______. 4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________. 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例1 (1)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________． 命题点2　求参数的值 例2 (1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________. (2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________. 命题点3　导数与函数图象 例3 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) (2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______. 跟踪训练 (1)(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是______________________． (2)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________. (3)(2018·沈阳模拟)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是__________． 1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 2．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 3．(2018·包头调研)设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为(　　) A．e2 B．e C. D．ln 2 4．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　) A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6．(2018·大连调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　) A．e B．－e C. D．－ 7．(2018·乌海模拟)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为______． 8．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝________. 9．若曲线y＝ln x的一条切线是直线y＝x＋b，则实数b的值为________． 10．(2018·丹东模拟)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝______. 11.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示． (1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________； (2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________________．(用“<”连接) 12．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标； (2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程． 13．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 14．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值． 15．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点M(　　) A．在直线y＝－5x上 B．在直线y＝5x上 C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上 16．已知函数f(x)＝x－. (1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．