湖南省湘潭市湘乡龙洞中学高二数学文期末试题含解析

湖南省湘潭市湘乡龙洞中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2=﹣x的准线方程是（　　） A．y= B．y= C．x= D．x= 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程． 【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴ = ∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x= 故选D． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 2. 设，则此函数在区间(0,1)内为（　　）  A．单调递减，   B、有增有减   C.单调递增，   D、不确定 参考答案： A 略 3. 偶函数满足，且在时，，则关于的方程在上根有     A．4个         B．3个            C．2个            D．1个 参考答案：   B 4. 若方程表示圆，则实数k的取值范围为 A．(1,+∞)            B．[1,+∞)           C．(－∞,1]          D．(－∞,1) 参考答案： D 5. 在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 (   )                                                        A.4+8i      B.8+2i       C.2+4i          D.4+i 参考答案： C 6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　） A．72 B．68 C．54 D．90 参考答案： A 【考点】等差数列的性质． 【分析】根据已知中a4=18﹣a5，我们易得a4+a5=18，根据等差数列前n项和公式，我们易得S8=4（a1+a8），结合等差数列的性质“p+q=m+n时，ap+aq=am+an”即可得到答案． 【解答】解：在等差数列{an}中， ∵a4=18﹣a5， ∴a4+a5=18， 则S8=4（a1+a8）=4（a4+a5）=72 故选：A 7. 抛物线y＝x2上到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是（    ） A． B．(1，1) C． D．(2，4) 参考答案： B 8. 将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为（    ） A．18         B．30       C．36         D．48 参考答案： B 9. 将函数的图像平移后所得的图像对应的函数为，则进行的平移是（     ） A、向右平移个单位               B、向左平移个单位  C、向右平移个单位               D、向左平移个单位 参考答案： B 10. 已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为(       ) A、18     B、24       C、36       D、48 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知物体运动的方程为，则在时的瞬时速度是　　　　　． 参考答案： 12. 在离水平地面300m高的山顶上，测得水平地面上一竖直塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为 m. 参考答案： 200m 13. 经过点，且在轴上的截距相等的直线方程是                     ； 参考答案： 略 14. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_________． 参考答案： 略 15. 已知双曲线，点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，   则的值为__________． 参考答案： 16. 函数的递减区间是__________． 参考答案： （0,2） 17. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为1m的有盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b满足关系，现有制箱材料30，则当a,b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积不计）             参考答案： 解：依题意，可知所求的值应使最大 根据题设，有 即…………………………4’ 法一： …………………………6’ …………………………9’ 当且仅当时，取最小值，此时，………………………13’ 答：当，时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小…………………14’ 法二：……………………6’ 由解得，即 所以………………………………………………9’ 当且仅当，即时，取最小值……………………13’ 答：当，时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小………………14’   19. （本题满分12分） 如图所示,在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2. E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面 ABCD. (1)求证：PA∥平面EFG； (2)求二面角G－EF－D的大小．   参考答案： 解析　(1)∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD. 又CD∥AB，∴EF∥AB，∴EF∥平面PAB. 同理，EG∥平面PAB. 又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG， 而PA在平面PAB内，∴PA∥平面EFG.----------5分 (2)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，G(1,2,0)，] 易知＝(2,0,0)为平面EFD的一个法向量． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(0，－1，0)，＝(1,1，－1)， 由得 即取x＝1，得n＝(1,0,1)． 设所求二面角为θ，cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°，即二面角G－EF－D的平面角的大小为45°.----------12分 略 20. （不等式选讲,本题满分12分）已知函数. （1）解不等式；  （2）若，求证： 参考答案： （Ⅰ）∵.  ------ 1分 因此只须解不等式.   ---------- 2分 当时，原不式等价于，即.------3分 当时，原不式等价于，即.    -----4分 当时，原不式等价于，即.  -------5分 综上，原不等式的解集为.                …6分 （Ⅱ）∵      --------- 8分 又0时， ∴0时，.                                   …12分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分. 21. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC面积的最大值. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得，根据的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：， 即：，             （2）由（1）知： 由余弦定理得：（当且仅当时等号成立） ∴（当且仅当时等号成立） 的最大值为： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型. 22. （本小题满分12） 为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元。    （1）求水费y（元）关于用水量x（吨）之间的函数关系式；    （2）若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量。     参考答案：