河南省信阳市第六中学高一数学文下学期期末试卷含解析

河南省信阳市第六中学高一数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在①；②；③； ④上述四个关系中，错误的个数是（     ）       A.1个    B.2个     C.3个          D.4个 参考答案： B 略 2. （3分）已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（2+x）=f（﹣x），则下列不等式中成立的是（） A． f（﹣4）＜f（0）＜f（4） B． f（0）＜f（﹣4）＜f（4） C． f（0）＜f（4）＜f（﹣4） D． f（4）＜f（0）＜f（﹣4） 参考答案： C 考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由f（2+x）=f（﹣x），即可得到f（x）的对称轴为x=1，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出f（0），f（4），f（﹣4）的大小关系． 解答： 由f（2+x）=f（﹣x）得： （2+x）2+b（2+x）+c=x2﹣bx+c； 整理可得，（4+2b）x+（4+2b）=0； ∴4+2b=0； ∴b=﹣2； ∴f（x）的对称轴为x=1； 根据离对称轴的远近即可比较f（0），f（4），f（﹣4）的大小为： f（0）＜f（4）＜f（﹣4）． 故选C． 点评： 考查由条件f（2+x）=f（﹣x）能够求出该二次函数的对称轴，以及二次函数图象上的点离对称轴的远近和该点纵坐标的关系． 3. 关于的，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 ；（2）存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ； （3）存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 ；（4）存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 ；其中假命题的个数是                                               （  ） (A)  0             (B) 1         (C) 2             (D) 3 参考答案： B 4. 已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：①； ②⊥；③⊥；④． 其中正确命题的序号是（     ） A．①③        B． ②③④       C．②④      　D．①②③ 参考答案： A 5. 若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有（   ）个. A．0        B．1        C．2        D．4 参考答案： C 6. 的值为 (　  ) A． B． C． D． 参考答案： C 略 7. 下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（ ▲ ） A.    B.     C.       D. 参考答案： B 8. cos240°的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】三角函数的求值． 【分析】将240°表示成180°+60°，再由诱导公式化简，再由特殊角的三角函数值求值． 【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣， 故选C． 【点评】本题考查了诱导公式的应用，熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限，并会运用，注意三角函数值的符号． 9. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是   ( ) A．2      B．      C．      D． 参考答案： B 10. 已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为1km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为km，则A，B两船的距离为(　 　) A．       B.3km          C.．km      D．km 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果实数，则的最大值为___________. 参考答案： 6 可以变为 ， 其中可以看作是不等式组表示的 平面区域内的点与点之间连线的斜率，作出不等式组表示的平面区域如图所示，点与点之间连线的斜率最大，即.   12. 如图1，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，则PC＝_  _____。   参考答案： 13cm 略 13. 已知数列满足关系式，则的值是_________________________。 参考答案： 解析：设         即 故数列是公比为2的等比数列， 。 14. 奇函数当时，,则当时，＝______________. 参考答案： 略 15. 下列四个命题 （1）有意义;     （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线， 其中正确的命题个数是____________。 参考答案：     解析：（1），不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由 离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。 16. 在平面直角坐标系中，已知圆C： ，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆C截得的弦长都是定值，则直线的方程为_________. 参考答案： 略 17. 若函数在上的最大值与最小值之差为2，则      . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都 有成立？请给出结论，并加以证明． 参考答案： 解析：存在符合条件的二次函数．                                     …5分 设，则当时有：    ①；   ②；③． 联立①．②．③，解得．于是，．10分 下面证明：二次函数符合条件． 因为， 同理：；                                     …15分 ．     所以，所求的二次函数符合条件．                  ……20分 19. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人) 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y (1)求x，y； (2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率. 参考答案： (1)由题意可得， 所以. (2)记从高校抽取的2人为，从高校抽取的3人为， 则从高校抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：共10种. 设选中的2人都来自高校的事件为，则事件包含的基本事件有：共3种. 所以. 故选中的2人都来自高校的概率为. 20. (12分) 已知函数f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值为2. (1)求函数f(x)在［0,π］上的单调递减区间； (2)△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c, 且C=60°，c=3，求△ABC的面积. 参考答案： (1)由题意，f(x)的最大值为 所以 而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+). 由正弦函数的单调性及周期性可得x满足 即 所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为 (2)设△ABC的外接圆半径为R， 由题意，得 化简得 sin A+sin B=2sin Asin B.由正弦定理， 得① 由余弦定理，得a2+b2-ab=9， 即(a+b)2-3ab-9=0. ② 将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0， 解得ab=3或 (舍去)， 故 21. 某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4． （Ⅰ）列出样本的频率分布表； （Ⅱ）估计成绩在85分以上学生的比例； （Ⅲ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本的频率分布估计总体分布． 【分析】（Ⅰ）根据题意计算可得[90，100]一组的频数，根据题意中的数据，即可作出频率分布表； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成绩在[85，100）的学生数，再结合题意，计算可得答案； （Ⅲ）根据题意，记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙，列举“二帮一”的全部情况，可得其情况数目与甲乙两名同学恰好在同一小组的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，[90，100]一组的频数为50﹣（2+3+14+15+12+4）=4， 作出频率分布表如下： 分数 频数 频率 [40，50） 2 [50，60） 3 [60，70） 14 [70，80） 15 [80，90） 12 [90，100] 4 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成绩在[85，100）的学生数为+4=10， 则成绩在85分以上的学生的比例为P1==20%， （Ⅲ）记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙， 则选取的情况有（1，2，a）、（1，2，甲）、（1，3，a）、（1，3，甲）、（1，乙，a）、（1，乙，甲）、 （2，3，a）、（2，3，甲）、（2，乙，a）、（2，乙，甲）、（3，乙，a）、（3，乙，甲），共12种； 其中甲乙两名同学恰好在同一小组的情况有3种， 则甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率P2==． 【点评】本题考查古典概型的计算与频率分布表的作法，关键是运用表中的数据，正确做出频率分布表． 22. （本题满分10分）如图，边长为3的正方形ABCD中，点分别为边上的点，将分别沿折起，使两点重合于点 ． （1）求证：；        （2）当时，求三棱锥的体积． 参考答案： （1）将AED, DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于点，                          又                                             …………5分 （2）在边长为3的正方形ABCD中，    ∴AE=CF=2    ∴  , ∴    …………10分