黑龙江省绥化市火箭中学高三数学理联考试题含解析

黑龙江省绥化市火箭中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为 [104，106]，则在区间上的数据的频数为        A．0.1                         B．0.2                                C．20                          D．10 参考答案： 2. 已知程序框图如右图所示，则该程序框图的功能是                    （    ）     A．求数列的前10项和     B．求数列的前10项和     C．求数列的前11项和     D．求数列的前11项和                                                   参考答案： 答案：B 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”，对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质，则这些性质中正确的个数有（　　） ①该函数的值域为；    ②该函数图象关于原点对称； ③该函数图象关于直线x=对称； ④该函数的单调递增区间为， k∈Z， 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 参考答案： C 4. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则几何体的体积是（） A. cm3       B. cm3 C. cm3        D. cm3 参考答案： A 根据该几何体的三视图画出其空间几何体如图所示： 其中，，，中边上的高为1，所以该几何体的体积为。 5. 设 ，若函数 在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的 取值范围是 （A） （B） （ C） （D） 参考答案： C ∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点 当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3， 分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点， 又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点． 综上所述，f（x）的零点个数为3个，故选C． 6. 函数y=的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可． 【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1， 当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C， 函数的导数f′（x）=， 由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减， 故选：D． 7. 若命题“?x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6） D．（﹣6，﹣2） 参考答案： A 【考点】特称命题；命题的真假判断与应用． 【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围． 【解答】解：命题“?x0∈R，使得”的否定为： “?x0∈R，都有”， 由于命题“?x0∈R，使得”为假命题， 则其否定为：“?x0∈R，都有”，为真命题， ∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6． 则实数m的取值范围是[2，6]． 故选A． 8. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记表示第行的第个数，则=(     )   A.      B.        C.    D.                                                             参考答案： Ｂ 9. 已知函数   ,若数列满足， 且是递减数列，则实数的取值范围是        A．         B．                    C．                     D． 参考答案： C 略 10. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，则四棱锥外接球的表面积为 A.        B.     C.    D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________. 参考答案： 略 12. 在中，，，，是边上一点，，则             ．     参考答案： 略 13. 已知向量，、满足，所成的角为，则当，的取值范围是      ． 参考答案： 14. 已知向量，满足条件，，与的夹角为60°，则          ． 参考答案：      15. 如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则x+y=        A．                    B．                              C．                         D． 参考答案： A 略 16. 已知半径为r的球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱都相切，记球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线的总长度为f（r），则f（1）=　  　． 参考答案： 6π 【考点】球内接多面体． 【分析】由题意，r=1，球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线是半径为的圆，即可得出结论． 【解答】解：由题意，r=1，球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线是半径为的圆， ∴f（1）=6×2π×=6π， 故答案为6π． 　 17. 公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项，，则=______       参考答案： 60 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(>0，且)。数列满足 （I）求数列的通项。 （II）若对一切都有，求的取值范围。 参考答案： 解：（1）由题意可知当时，………………………………2分               当时，   （1）                          （2）    用（1）式减去（2）式得：    所以数列是等比数列    所以）…………………………6分      （2）因为所以             当对一切都有 即有       （1）当有当对一切都成立所以……9分       （2）当  有当对一切都成立所以有  ………………………………………………11分      综合以上可知或………………………………12分 略 19. （15分）（2015?杨浦区二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦． （1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值； （2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值； （3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标． 参考答案： 【考点】： 抛物线的简单性质． 【专题】： 平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： （1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况； （2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值； （3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N． （1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0）， 代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0， 由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+， 由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+ ===为定值． 当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立； （2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm， |MP|=|MQ|=，有+为定值． 当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得， y2﹣2pty﹣2pm=0，设P（，y1），Q（，y2） 则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm． 即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12， 同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22． 即有+=?， 存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为?=为定值； （3）解：，可得=， ，可得（+λ）?（﹣λ）=0， 即为NP2=λ2NQ2， 由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设， 则y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），② 又设N（n，0）（n＜0），则（n﹣）2+y12=λ2[（﹣n）2+y22]， 即为﹣n=λ（﹣n），③ 将①平方可得，y12=λ2y22，④， 将④代入②③，化简可得n=﹣p． 则N（﹣p，0）． 【点评】： 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题． 20. 四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形， 又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分别是BC、PE的中点．   (1)求证：AD⊥PE； (2)求二面角E－AD－G的正切值． 参考答案： 解法一：(1)如图，取AD的中点O，连结OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD， 又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD. 又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE. ∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE. ……………6分 (2)取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知AD⊥OG， 又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角， ∵PA＝PD，∠APD＝60°， ∴△APD为等边三角形，且边长为2， ∴OP＝×2＝，FG＝OP＝，OF＝CD＝1， ∴OG＝，∴cos∠GOE＝.……………6分 略 21. 已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数． （Ⅰ）设函数g（x）=sin（+x）+2cos（﹣x），试求g（x）的伴随向量的模； （Ⅱ）记=（1，）的伴随函数为h（x），求使得关于x的方程h（x）﹣t=0在[0，]内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围． 参考答案： 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用． 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 分析：（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简函数g（x），结合已知的新定义求得伴随向量的坐标，再由模的计算公式求模； （Ⅱ）根据给出的=（1，），求得其伴随函数h（x），由给出的x的范围求得h（x）的值域，再结合函数的单调