广东省汕头市上堡创大中学2023年高三数学文期末试卷含解析

广东省汕头市上堡创大中学2023年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=（　　） A． B． C． D．4 参考答案： A 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质． 【分析】根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得yA=﹣3yB，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|． 【解答】解：设直线的AB的倾斜角为锐角， ∵S△AOF=3S△BOF， ∴yA=﹣3yB， ∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得， y2﹣4my﹣4=0， ∴yA+yB=4m，yAyB=﹣4． ∴+==﹣2==﹣3﹣， ∴m2=， ∴|AB|=?=． 故选：A． 2. 已知全集U={x I x < 5}，集合，则 (A) (B)   (C) (D) 参考答案： C 3. 函数的图象为(　　) 参考答案： B 4. 将直线绕点（1，0）沿逆时针方向旋转得到直线，则直线与圆的位置关系是                                               （    ）          A．相交  B．相切  C．相离  D．相交或相切 参考答案： B 5. 已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A，B上顶点为C，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】利用已知条件列出a，b关系式，最后求解离心率即可． 【解答】解：由题意得∠CAB=30°，则tan∠CAB==，可得离心率为e===， 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 6. 在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是 （A）2       （B）      （C）      （D）3 参考答案： B 考点：余弦定理 因为设则， 得 ， ， 当时上式有最大值为2， 故答案为：B   7. 函数的图象为 （A）              （B）               （C）                 （D） 参考答案： B 8. 已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（   ） (A)         (B)         (C)       (D) 参考答案： A 9. 已知复数z满足（2﹣i）z=1+i（i为虚数单位），则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：（2﹣i）z=1+i（i为虚数单位）， ∴（2+i）（2﹣i）z=（1+i）（2+i），∴5z=1+3i， ∴z=+i， 则=﹣i， 故选：B． 10. 设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（   ） A．           B．          C．         D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是                   参考答案： 8 略 12. 已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为  ▲ . 参考答案： 略 13. 在△ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 A﹣BCD中，若G为△BCD的重心，则可得一个类比结论：　　． 参考答案： 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】“在△ABC中，D为BC的中点，则有，平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，可得结论． 【解答】解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有， 由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有． 故答案为：． 14. 复数         参考答案：    15. 在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为   ▲   ． 参考答案： 2 略 16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为          ． 参考答案： 设圆锥的底面圆半径为，有圆锥的高为，从而圆锥的体积为，令，有 ，令，当时函数 为增函数，当时函数为减函数，从而当时体积取最大值.   17. 若函数,则不等式的解集为____________ 参考答案： (2,3) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. [选修4-4：坐标系与参数方程] 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(sinθ+cosθ+)． （1）求曲线C的参数方程； （2）在曲线C上任取一点P（x，y），求的3x+4y最大值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出C的普通方程，从而求出参数方程即可； （2）设出P的坐标，从而求出3x+4y的最大值即可． 【解答】解：（1）由，得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1）， ∴x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4， 故曲线C的参数方程为为参数）． （2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π）， ∴3x+4y=3+6cosθ+4+8sinθ=7+10sin（θ+φ）， ∴（3x+4y）max=7+10=17． 19. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记. （1）求的大小； （2）当取最大值时，求的值. 参考答案： （1）因为， 所以，即， 整理得. 又，所以，即. （2）设，则. 由正弦定理得， 又， 由，得. 因为， 所以. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值， 此时， 所以. 20. （本小题满分12分） 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组各抽取的人数；      （II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。               参考答案： 解析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解析分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。 （II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。  从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 （III）的可能取值为0，1，2，3 ，， ， 分布列及期望略。 评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。 21. （10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （ I）求圆C和直线l的极坐标方程； （ II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|?|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4=0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程． （Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2=|OR|?|OQ|，即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2． 点P在直线l：x+y﹣4=0上，直线l的极坐标方程ρ=． （Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ）， 因为， 又因为|OP|2=|OR|?|OQ|，即，∴， ∴ρ=． 【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22. 在平面直角坐标系中，设向量，， ． （1）若，求的值； （2）设，，且，求的值． 参考答案： （1）因为，，， 所以， 且．                   …… 3分         因为，所以，即a2 ??2 ab ??b2 ??1，         所以，即．                 …… 6分    （2）因为，所以．         依题意，．                      …… 8分 因为，所以．             化简得，，所以．           …… 12分             因为，所以．             所以，即．                                    …… 14分