江苏省南京市铁心桥中学高二数学理期末试题含解析

江苏省南京市铁心桥中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆的方程为 ，则此椭圆的长轴长为 A. 3               B. 4              C.  6                   D. 8 参考答案： D 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限       B．第二象限     C．第三象限      D．第四象限 参考答案： D 略 3. 若函数，则（    ） A．?1             B．0             C．1             D．2 参考答案： D 略 4. 已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（　　） A．2 B． C． D． 参考答案： D 【考点】轨迹方程． 【专题】综合题；空间位置关系与距离． 【分析】由题意作出图形，建立空间直角坐标系，设出P、Q、M的坐标，由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示，然后利用PQ=列式，求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周，则l的长度可求． 【解答】解：如图， 以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设P（m，1，0）（0≤m≤1），Q（0，0，n）（0≤n≤1），M（x，y，z）， 则由中点坐标公式得：． ∴m=2x，n=2z ①， ∵|PQ|=， ∴m2+n2=1 ②， 把①代入②得，4x2+4z2=1． 即． ∵0≤m≤1，0≤n≤1， ∴． ∴PQ中点M的轨迹方程为． 轨迹l为在垂直于y轴的平面内，半径为的四分之一圆周． ∴l的长度为． 故选：D． 【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹，体现了参数思想在解题中的应用，考查了学生的空间想象能力，属难题． 5. 现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回的抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是（     ） （Ａ）           （Ｂ）     （Ｃ）           （Ｄ） 参考答案： B 略 6. 过点P(1,2)的直线l平分圆C：的周长，则直线l的斜率为(　　) A.                B．1            C.              D. 参考答案： A 7. 圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（　　） A．一个点 B．椭圆 C．双曲线 D．以上选项都有可能 参考答案： C 【考点】轨迹方程． 【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键． 【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点 线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q， 则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R， 即动点Q到两定点O、A的距离差为定值， 根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线 故选：C． 8. 若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 参考答案： A 【考点】三点共线． 【分析】由 三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，可得，即（1，m）=λ?（3，3），由此求得m的值． 【解答】解：∵三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线， ∴， ∴（1，m）=λ?（3，3）=（3λ，3λ）， 解得 m=1， 故选A． 9. 已知点A(-1，1)和圆C：，一束光线从点A经过x轴反射到圆周上的最短路程是（  ） A.10           B.        C.        D.8 参考答案： B 10. 某几何体的三视图如右图所示，它的体积为(    )  A.              B.        C.              D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=　   　． 参考答案： 3 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由已知可得a2，b2的值，求得c2=4﹣m，结合椭圆离心率列式求得m值． 【解答】解：由已知a2=4，b2=m， 则c2=4﹣m， ∴，解得m=3． 故答案为：3． 12. 直线l与两直线y=1，x﹣y﹣7=0分别交于A，B两点，若直线AB的中点是M（1，﹣1），则直线l的斜率为　　   ． 参考答案： 【考点】直线的斜率． 【分析】设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率． 【解答】解：设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣1）， 联立直线l与y=1，得到， 解得x=， ∴A（，1）； 联立直线l与x﹣y﹣7=0，得到， 解得x=，y=， ∴B（，）， 又线段AB的中点M（1，﹣1）， ∴，解得k=﹣． 故答案为： 13. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是　　　 海里. 参考答案： 14. 已知集合，若，则实数m=______________ 参考答案： 【分析】 根据A∩B＝B，集合的基本运算即可实数m的值． 【详解】∵A∩B＝B，A＝{1，m，9}，B＝{1，m2}， ∴B?A， ∴m＝m2或m2=9，且m≠1， 解得：m＝1（舍去）或m＝0，或m=3或-3， 故答案为0，3，-3． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合元素的特性，关键是元素的互异性，比较基础． 15. 已知复数z满足，则的最小值是    ▲    ． 参考答案： 4 ； 16. 设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为　   　． 参考答案： 7 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大， 此时z最大． 由，解得，即A（3，4）， 代入目标函数z=x+y得z=3+4=7． 即目标函数z=x+y的最大值为7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键． 17. 已知函数，函数在处的切线方程为               ； 参考答案： y=2x-e  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究. （I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率； （Ⅱ）用X表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考答案： （I）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案；   （Ⅱ）找出随机变量的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望. 【详解】（Ⅰ）解：设事件为“抽取3天中至少有一天空气质量为良”， 事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”， 从7天中随机抽取3天共有种不同的选法， 抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法， 则, 所以，事件发生的概率为. （Ⅱ）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. ， 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3     随机变量X的数学期望. 【点睛】本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意 在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力. 19. 已知函数. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）当时，函数f(x)在(－∞,0)上的最小值为，若不等式有解，求实数t的取值范围． 参考答案： （1）答案见解析；（2） 【分析】 （1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求． 【详解】（1）由， 得， ①当时， 令，得， 所以，或，即或， 解得或． 令，得， 所以或，即或， 解得或． 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． ②当时， 令，得，由①可知； 令，得，由①可知或． 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，． 综上可得， 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为． 当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，． （2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以不等式有解等价于有解， 即有解， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值也是最小值，且最小值为， 从而， 所以实数的取值范围为． 【点睛】（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏． （2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替． 20. 空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别AB,BC,CD,AD的中点，求证：EH∥平面BCD.   参考答案： 21.  2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰，那么多少年 后我国人口将达到15亿？设计一个算法的程序. 参考答案： A=13 R=0.007 i=1 DO     A=A*（1+R）     i=i+1  LOOP  UNTIL  A＞=15     i=i－1 PRINT  “达到或超过15亿人口需要的年数为：”；i END 22. 8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个 数为X. （1）求X的分布列； （2）求 参考答案： .解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2,3,4，则有，………………………1分                           由此X的分布列为： X 2 3 4 P   ………………………3分 （2）