福建省三明市宁化县第六中学高三数学文模拟试题含解析

福建省三明市宁化县第六中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f（x）=x?ex，g（x）=x2+2x，，若对任意的x∈R，都有h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]成立，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】2H：全称命题． 【分析】由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k； 构造函数H（x）=f（x）+kg（x），利用导数H'（x）判断H（x）的单调性， 求出H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出k的取值范围． 【解答】解：由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立， 等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k①； 设函数H（x）=f（x）+kg（x）， 则H'（x）=（x+1）（ex+2k）； （1）设k=0，此时H'（x）=ex（x+1）， 当x＜﹣1时H'（x）＜0， 当x＞﹣1时H'（x）＞0， 故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增， 故H（x）≥H（﹣1）=﹣e﹣1； 而当x=﹣1时h（x）取得最大值2，并且﹣e﹣1＜2， 故①式不恒成立； （2）设k＜0，注意到， ，故①式不恒成立； （3）设k＞0，H'（x）=（x+1）（ex+2k）， 此时当x＜﹣1时H'（x）＜0， 当x＞﹣1时H'（x）＞0， 故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增， 故； 而当x=﹣1时h（x）max=2，故若使①式恒成立， 则， 解得． 【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题． 2. 已知U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，4，5}，N={2，4，5，6}，则（　　） A．M∩N={4，6} B．M∪N=U C．（?UN）∪M=U D．（?UM）∩N=N 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合． 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：由补集的定义可得?UM={2，6}， 则（?UM）∪M={1，2，3，4，5，6}=U， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 3. 的分数指数幂表示为 (    )  A．            B． a 3            C．            D．都不对 参考答案： C 4. i表示虚数单位，则复数=（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解： =， 故选：D． 5. 如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　） A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞a4+a5 D．a1a8=a4a5 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【分析】先根据等差中项的性质可排除C；然后可令an=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案． 【解答】解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C； 若令an=n，则a1a8=1?8＜20=4?5=a4a5∴排除D，A． 故选B 【点评】本题主要考查等差数列的性质．属基础题． 6. 已知满足不等式,且目标函数最大值的变化范围,则t的取值范围(    ) A.      B.     C.     D. 参考答案： B 7. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．－3 B．－2 C．2 D．3 参考答案： C ∵， ∴，解得，， ∴.   8. “”是“函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可． 【解答】解：若函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数， 则φ=+kπ，k∈Z， 则“φ=”是“函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A． 9. 直线和圆的关系是（    ） A.相离             B.相交          C.相交或相切     D.相切 参考答案： B 略 10. “”是“”的                            (   ) A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件         D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=　　． 参考答案： 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题． 【解答】解：， ∵， ∴， ∵， ∴cos∠DAC=sin∠BAC， ， 在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB， ， =|BC|sinB==， 故答案为． 12. 若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是          。 参考答案： a<1或a>3 13. 函数在点(1,1)处的切线方程为                ． 参考答案：   14. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____． 参考答案： 54 15. 某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分数段的人数为_________人. 参考答案： 略 16. 如图，已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为 __________ 参考答案： y＝2sin（2x＋） 17. 已知函数则=              参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且， （1）点是上的一点，证明：平面平面； （2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离． 参考答案： 解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面 面，所以平面平面         ………6分 （2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以     ………12分 解法二（1）同一 （2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍） 设，解得 因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标． ………12分   19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度（单位：辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.      (Ⅰ）当时，求函数的表达式；     (Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆小时） 参考答案： （Ⅰ）由题意当时，；当时，设， 显然在是减函数，由已知得， 解得        故函数的表达式为= (Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立．              所以，当时，在区间上取得最大值． 综上，当时，在区间上取得最大值， 即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆小时．   20. （本小题满分12分） 如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED?面ABCD，． (1)求证:； (2)若． 参考答案： 证明：（1）由是菱形 ………………3分 由是矩形 ……………6分 （2）连接， 由是菱形，   由面,       ，………………8分 则为四棱锥的高 由是菱形，，则为等边三角形， 由；则，，     ………………………………………12分 21. 在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO. （1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； （2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值. 参考答案： (1)不妨设正方体的棱长为1，以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)， E， 于是，. 由cos＝＝. 所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.                 ………5分 （2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0 得  取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .      …………7分 由D1E＝λEO，则E，=. 又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0. 得  取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．               …………10分 略 22. 《朗读者》栏目在央视一经推出就受到广大观众的喜爱，恰逢4月23日是“世界读书日”，某中学开展了诵读比赛，经过初选有7名同学进行比赛，其中4名女生A1，A2，A3，A4和3名男生B1，B2，B3．若从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛． （1）求男生B1被选中的概率； （2）求这2名同学恰为一男一女的概率． 参考答案： 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）先求出基本事件总数n=，设事件A表示“男生B1被选中”，利用列举法求出事件A包含的基本事件个数，由此能求出男生B1被选中的概率． （2）设事件B表示“这2名同学恰为一男一女”，利用列举法求出事件B包含的基本事件个数，由此能求出这2名同学恰为一男一女的概率． 【解答】解：（1）经过初选有7名同学进行比赛，其中4名女生A1，A2，A3，A4和3名男生B1，B2，B3． 从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛． 基本事件总数n=， 设事件A表示“男生B1被选中”，则事件A包含的基本事件有： （A1，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A4，B1），（B1，B2），（B1，B3），共6个， ∴男生B1被选中的概率P（A）=． （2）设事件B表示“这2名同学恰为一男一女”，则事件B包含的基本事件有： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）， （A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）， 共12个， ∴这2名同学恰为一男一女的概率p=．