2023年浙江省金华市永康丽古中学高一数学理模拟试题含解析

2023年浙江省金华市永康丽古中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在边长为4的等边△ABC中，M，N分别为BC，AC的中点，则=(   ) A. －6 B. 6 C. 0 D. 参考答案： A 【分析】 设，分别去表示，，利用向量间的运算法则得到。 【详解】设 则 故选A 【点睛】本题考查了向量的数量积，关键是将未知向量，用已知向量去表示。 2. 已知a，b为两非零向量，若|a+b|=|a?b|，则a与b的夹角的大小是(    ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 参考答案： D 3. 在中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B为（  ） A      B      C 或     D 或 参考答案： A 略 4. 设有4个函数，第一个函数是y = f ( x )，第二个函数是它的反函数，将第二个函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到第三个函数的图象，第四个函数的图象与第三个函数的图象关于直线x + y = 0对称，那么第四个函数是（   ） （A）y = – f ( – x – 1 ) – 2                （B）y = – f ( – x + 1 ) – 2 （C）y = – f ( – x – 1 ) + 2                （D）y = – f ( – x + 1 ) + 2 参考答案： C 5. 设集合A＝{5,2,3}，B＝{9,3,6}，则A∩B等于 (　　) A．{3}            B．{1}             C．{－1}          D．? 参考答案： A 因为集合A＝{5,2,3}，B＝{9,3,6}，所以A∩B={3}。 6. △ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+=tanA?tanB，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】GR：两角和与差的正切函数． 【分析】由tanC=﹣tan（A+B）=﹣，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由题意可知：求得tanC=．则C=60°．由余弦定理可知：cosC=，由a=4，b+c=5，C=60°，即可求得b的值，由三角形的面积公式：S=absinC=． 【解答】解：∵tanC=﹣tan（A+B）=﹣， 化简得，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC， 由题意可知：tanA+tanB+=tanA?tanB， ∴tanC=． 由A，B，C为三角形的内角， ∴C=60°． 由余弦定理可知：cosC=， 由a=4，b+c=5，C=60°，解得：b=， ∴S=absinC=， 故选C． 7. 若上述函数是幂函数的个数是（   ） A．个   B．个   C．个   D．个 参考答案：  C   解析：是幂函数 8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a、b、c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若a＞b＞c，则，  现有周长为，△ABC满足 ，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（     ） A.           B.         C.         D. 参考答案： A 9. 已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 参考答案： A 【考点】分段函数的应用． 【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值． 【解答】解：∵f（x）= ∴f（1）=2 若f（a）+f（1）=0 ∴f（a）=﹣2 ∵2x＞0 ∴x+1=﹣2 解得x=﹣3 故选A 10. 已知, 则A,B两点间距离的最小值是（     ）    A． B．2 C． D．1               参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且是第二象限角，那么的值为_____________ 参考答案： 试题分析： ，又因为是第二象限角，所以，那么. 考点：同角三角函数基本关系 12. 若这10个数据的样本平均数为,方差为0.33,则，这11个数据的方差为________． 参考答案： 略 13. 集合，，其中,若中有且仅有一个元素，则的值是　　　　　　　　．   参考答案： 略 14. 关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 略 15. 若实数a、b满足，则3a+3b的最小值是            . 参考答案： 6 16. 设函数,则的值为        ． 参考答案： 4 略 17. 函数的定义域是            参考答案： (5，6］ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数， （1）已知，求； （2）解不等式； （3）设，试判断的奇偶性，并用定义证明你的判断． 参考答案： （1） …… 2分             …… 4分        （2）由得，，即 …… 8分       （3）是奇函数 …… 10分        … 12分 19. 已知直线l：在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n. （1）求实数m，n的值； （2）求点(m，n)到直线l的距离. 参考答案： 解：（1）：，当时，，所以；当时，， 所以； （2）点即为， 所以点到直线的距离为.   20. （12分）如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）． （1）求实数m的值； （2）求的值． 参考答案： （Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，  解得：m=﹣； （II）略 21. 设函数f（x）=x2﹣ax+b（a，b∈R） （Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围 （Ⅱ）对任意x∈[﹣1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；抽象函数及其应用． 【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，解关于a的不等式即可； （Ⅱ）方法1：问题转化为4x2﹣4ax+（a+1）2对任意x∈[﹣1，1]恒成立，记g（x）=4x2﹣4ax+（a+1）2，x∈[﹣1，1]，通过讨论对称轴的位置，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；方法2：根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[0，1]上不单调， ∴0＜＜1，即0＜a＜2； （Ⅱ）解法1：由已知，对任意的实数x∈[﹣1，1]．， 关于y的方程f（y）=f（x）+y有解， 即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程y2﹣（a+1）y﹣（x2﹣ax）=0有解， ∴△1=（a+1）2+4（x2﹣ax）≥0，对任意x∈[﹣1，1]恒成立， 即4x2﹣4ax+（a+1）2对任意x∈[﹣1，1]恒成立， 记g（x）=4x2﹣4ax+（a+1）2，x∈[﹣1，1]， ①当≤﹣1时，g（x）min=g（﹣1）=a2+6a+5≥0，故a≤﹣5， ②当﹣1＜＜1时，△2=16a2﹣16（a+1）2≤0，故﹣≤a＜2， ③当≥1时，g（x）min=g（1）=a2﹣2a+5≥0，故a≥2， 综上，a的范围是a≤﹣5或a≥﹣； 解法2：即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程f（y）=f（x）+y有有解， 即对任意的实数x∈[﹣1，1]，都存在关于y的方程y2﹣（a+1）y=x2﹣ax成立， 记A={z|z=y2﹣（a+1）y，y∈R}=[﹣，+∞）； B={z|z=﹣x2﹣ax，x∈[﹣1，1]}，即A?B， 记g（x）=x2﹣ax，x∈[﹣1，1]， ①当≤﹣1时，B=[1+a，1﹣a]，由A?B得﹣≤1+a， 化简得：a≤﹣5， ②当﹣1＜＜1时，B=[﹣，max{1+a，1﹣a}]， 由A?B得﹣≤﹣，化简得﹣≤a＜2， ③当≥1时，B=[1﹣a，1+a]，由A?B得﹣≤1﹣a，化简得a≥2， 综上，a≤﹣5或a≥﹣， 故a的范围是（﹣∞，﹣5]∪[﹣，+∞）． 【点评】本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性、最值、函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题． 22. 已知函数，且． （1）当时，设集合，求集合A； （2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数b的取值范围； （3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： （1）由时，由得，即，解得，所以． （2）由得，所以，可转化为：在上恒成立，解得实数的取值范围为． （3）对任意的，存在，使不等式恒成立，等价于 ，时，． 当时，由复合函数的单调性可知为上的减函数，为上的增函数，等价于，即，解得； 当时，为上的增函数，为上的减函数，等价于，即，解得． 综上，实数的取值范围为．