2023年湖南省衡阳市 衡东县三樟中学高二数学文联考试卷含解析

2023年湖南省衡阳市 衡东县三樟中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数对任意的正实数恒成立，则的取值范围是 A．　B．　C．　D． 参考答案： A 略 2. 在空间直角坐标系中，点的坐标分别为、、、，则三棱锥的体积是（  ） A．2             B．3            C．6           D．10 参考答案： A 3. 中，分别是的对边，若，则的最小值为（   ） A.      B.       C.          D. 参考答案： C 略 4. 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点.    （1）证明：平面PAD⊥平面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值. 参考答案： 证明：（1）∵AB∥DC，∠DAB＝90°， ∴DC⊥AD，又PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC， ∴DC⊥面PAD，又DC面PDC， ∴平面PAD⊥平面PCD； 解：（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），P（0，0，1），D（1，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0）， ∴＝（1，1，0），＝（0，2，－1），设AC与PB所成的角为（0<<90°） ∴cos＝|cos<,>|＝＝＝.   略 5. 定义域为R的函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＝f(4－x)，且其导函数f′(x)满足(x－2)f′(x)>0，则当时，有                                              A．              B． C．              D． 参考答案： A 略 6. 若等比数列中，则此数列的公比为(    ) A.3                  B.-3                  C.±3                 D.±9 参考答案： C 略 7. 设，若，则(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 8. 设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　） A．（1，） B．（，+∞） C．（1，） D．（，+∞） 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得． 【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1， 则，两式消去y0可得=x0＞1， ∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2， ∴＜2，∴e=＜， 又∵双曲线的离心率大于1， ∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，） 故选：C 9. 参考答案： A 略 10. 若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】利用导数，求出y=3x﹣x3的极值，由此结合已知条件能求出实数m的取值范围． 【解答】解：∵y=3x﹣x3， ∴y′=3﹣3x2， 令y′=0，得x=±1， ∵x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0； x∈（﹣1，1）时，y′＞0；x∈（1，+∞）时，y′＜0． ∴当x=1时，y取极大值2， 当x=﹣1时，y取极小值﹣2， ∵直线y=m与y=3x﹣x2的图象有三个不同交点 ∴m的取值范围为﹣2＜m＜2． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，是第三象限的角，则__________________. 参考答案： 12. 若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 则复数z =                    . 参考答案： 13. 数列 1, 2, 3, 4, 5, …, 的前n项之和等于                ． 参考答案： 14. 与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 参考答案： 15. 以下说法中正确的是                                ① 甲乙两同学各自独立地考察了两个变量的线性相关关系时，发现两个人对的观测数据的平均值相等，都是。对的观测数据的平均值也相等，都是。各自求出的回归直线分别是，则直线必定相交于定点。 ②用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量的值越大，说明“有关系”成立的可能性越大。 ③合情推理就是正确的推理。 ④最小二乘法的原理是使得最小。 ⑤用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合程度越好。 参考答案： ①②④ 略 16. 高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：，，，……，．左上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 则成绩大于等于 14秒且小于16秒的学生人数为          ． 参考答案： 27   17. 参数方程（t为参数），化为一般方程为　　． 参考答案： x+y﹣2=0 【考点】QH：参数方程化成普通方程． 【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程． 【解答】解：∵参数方程（t为参数）， ∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y）， 整理，得一般方程为：x+y﹣2=0． 故答案为：x+y﹣2=0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知命题：函数且在区间上单调递增；命题：函数对恒成立；若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。   参考答案： 略 19. 参考答案： 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 代入上述方程得x2＋y2＋2xi＝1－i， ∴x2＋y2＝1且2x＝－1，解得x＝－且y＝±. ∴复数z＝－±i. 20. （14分）已知抛物线； （Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程； （Ⅱ）设，是抛物线上异于原点的两动点，其中，以，为直径的圆恰好过抛物线的焦点，延长，分别交抛物线于，两点，若四边形的面积为32，求直线的方程. 参考答案： （1）过点P（2，1）的切线方程为y－１＝k（x－２） 由得     ∴　△＝０即解得k=1 ∴ 所求的直线方程是y=x-1    …………（4分） (2)设直线AC的方程为y=kx+1, 则直线BD的方程为y=－x+1 由得 ∴+=４k，＝－４  …………（6分） ∴ ｜AC|＝＝   …………（8分） 同理：｜BD|＝＝      …………（10分） ∵四边形ABCD的面积为32 ∴ ｜AC|｜BD|=32  即 解得：k=1或k=-1  ……（13分） ∴ 直线AC的方程是：y=x+1     …………（14分） 21. 已知 （1）求的定义域和值域； （2）求。 参考答案： 解析：由已知有的定义域为； （1）当时，的值域为      当时，      所以的值域为 （2）        当即时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                当即时， 22. （12分）（2015秋?湛江校级期中）数列{an}满足a1=1，=+1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=3n?，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】平面向量的基本定理及其意义．  【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）判断数列{}是等差数列，然后求解通项公式． （2）利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】（本小题12分） （1）解：由已知可得﹣=1，…．（2分） 所以是以=1为首项，1为公差的等差数列．得=1+（n﹣1）?1=n， 所以an=n2，…（4分） （2）由（1）得an=n2，从而bn=n?3n…．（5分） Sn=1×31+2×32+3×33+…+n?3n① 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1② ①﹣②得：﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n?3n+1 =﹣n?3n+1=．…．（10分） 所以Sn=．…．（12分） 【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．