2023年四川省乐山市纪家中学高二数学理上学期期末试题含解析

2023年四川省乐山市纪家中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于x的方程 的不同实根个数为(  ) A. 3            B．4      C．5          D. 6 参考答案： A 2. 若直线l∥平面α，直线m?α，则l与m的位置关系是（　　） A．l∥m B．l与m异面 C．l与m相交 D．l与m没有公共点 参考答案： D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】由线面平行的定义可判断l与α无公共点，直线m在平面α内，故l∥m，或l与m异面． 【解答】解：∵直线l∥平面α，由线面平行的定义知l与α无公共点， 又直线m在平面α内， ∴l∥m，或l与m异面， 故选D． 3. 将字母排成三行两列,要求每行字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 参考答案： A 4. 若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点， 则的最大值为 （   ） A.              B.               C.             D. 参考答案： A 略 5. 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 A.(0,1]      B.(0,e)      C.(1,e)       D. 参考答案： D 6. 设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是             (　　) A．z对应的点在第一象限 B．z一定不为纯虚数 C.对应的点在实轴的下方 D．z一定为实数 参考答案： C 略 7. 直线的倾斜角是                                       （　 　） Ａ　３０°　　Ｂ　４５°　　Ｃ　　６０°　　Ｄ　　９０° 参考答案： B 略 8. 小芳投掷一枚均匀的骰子，则它投掷得的点数为奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计． 【分析】基本事件总数n=6，它投掷得的点数为奇数包含的基本事件个数m=3，由此能求出它投掷得的点数为奇数的概率． 【解答】解：小芳投掷一枚均匀的骰子， 基本事件总数n=6， 它投掷得的点数为奇数包含的基本事件个数m=3， ∴它投掷得的点数为奇数的概率p=． 故选：B． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 9. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（  ） A. (－∞,－2] B. C. D. (－2,+∞) 参考答案： D 【分析】 先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果. 【详解】因为在区间内存在单调递增区间， 所以在区间上成立， 即在区间上有解， 因此，只需，解得. 故选D 10. 将十进制下的数72转化为八进制下的数（　　） A．011 B．101 C．110 D．111 参考答案： C 【考点】进位制． 【分析】根据十进制转化为八进制的方法，把十进制数除8取余转化为对应的八进制数即可得到结果． 【解答】解：72÷8=9…0 9÷8=1…1 1÷8=0…1 ∴72化成8进制是110（8）， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数x，y，满足xy=1，且x＞2y＞0，则的最小值为　 　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】根据分式中分母的特征，将分子配方，即可拆成基本不等式的形式，从而获得最小值． 【解答】解：∵xy=1，且x＞2y＞0， ∴． 当且仅当即x﹣2y=2时，取“=”号， 此时，联立xy=1，得时，有最小值4． 故答案为：4． 【点评】1．解决本题的突破口是：平方、拆项，化为基本不等式的形式．应学会一些常见的变形技巧． 2．利用基本不等式时，应注意是否满足条件“一正，二定，三相等”，否则取不到最值． 12. 过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是           ． 参考答案： 1 【考点】直线的倾斜角． 【专题】直线与圆． 【分析】利用斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系即可得出． 【解答】解：∵过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°， ∴tan45°==1， 解得a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 13. 圆Q1：x2+y2=9与圆Q2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的公切线条数为　    　． 参考答案： 4 【考点】两圆的公切线条数及方程的确定． 【分析】根据方程求解出圆心，半径，判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数． 【解答】解：∵圆Q1：x2+y2=9与圆Q2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1， Q1（0，0），Q2（3，4） ∴|Q1Q2|=5，R1=3，R2=1， ∴|Q1Q2|＞R1+R2=4， ∴圆Q1圆Q2相离， 圆Q1圆Q2公切线的条数为4， 故答案为：4 14. 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000. 在样本中记月收入在，，，，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量       ；图乙输出的          ．（用数字作答）   参考答案： ,6000; 略 15. 已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，若点F2关于一条渐近线的对称点为M，则|F1M|=　  　． 参考答案： 4 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】取双曲线的渐近线y=x，利用点F2关于一条渐近线的对称点为M，求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出|MF1|． 【解答】解：取双曲线的渐近线y=x，设点F2（，0）关于此直线的对称点M的坐标为（m，n）， ∴，解得m==﹣，n==．即M（﹣，）． ∴|MF1|==4． 故答案为：4． 【点评】本题综合考查了双曲线的性质、两点间的距离公式、轴对称的性质等基础知识与基本方法，属于中档题． 16. 若函数图像的一条对称轴为，则实数m的值为            参考答案：   17. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为　  　． 参考答案： 4 【考点】等差数列的前n项和；等差数列． 【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15， ∴， 即 ∴ ∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4， 故答案为：4． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2． （Ⅰ） 求角C的度数； （Ⅱ） 若a+b=10，求△ABC周长的最小值． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数； （Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b及cosC的值代入，利用基本不等式求出c的最小值，即可确定出周长的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=ab， 由余弦定理得：cosC==﹣， ∵0＜C＜180°，∴C=120°； （Ⅱ）∵a+b=10， ∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=c2=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=100﹣ab≥100﹣（）2=75， ∴c≥5，当a=b=5时取等号， 则△ABC周长的最小值为a+b+c=10+5． 【点评】此题考查了余弦定理，完全平方公式及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 19. （16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为． （Ⅰ） 求椭圆C的标准方程； （Ⅱ） 若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满 足，求△ABF外接圆的方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程． （Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，… ∴， ∴，… 所以椭圆C的标准方程是 ．… （Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），… 设A（x0，y0），则， ∵， ∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，… 代入， 得：或， 即A（0，﹣1）或．… 当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1， △ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；                 … 当A为时，kBF=﹣1，kAF=1， 所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆． 由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分） 综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示． 20. （1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8分） （2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5， 求抛物线的标准方程.（6分） 参考答案： 解：（1）椭圆的焦点为，顶点为      ----------------4分 双曲线的标准方程可设为 由题意知                  -----------------6分 则双曲线的标准方程为------------------8分 （2）由题意知，抛物线的标准方程可设为            --------------10分                        ------------------12分 抛物线的标准方程为        ------------------------14分 21. 抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F； （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程： （2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程；抛物线的标准方程． 【分析】（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（4，4），所以点（4，4）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标． （2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到m点的轨迹方程． 【解答】解：（1）抛物线