2023年江西省九江市瑞昌乐山中学高二数学理月考试卷含解析

2023年江西省九江市瑞昌乐山中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在下列四个选项中，是的必要不充分条件是（    ） A     B C     D 参考答案： D 2. 已知，则     (   )    A． B．             C．             D． 参考答案： C 略 3. 设，则的值为（   ） A. 1 B. 16 C. -15 D. 15 参考答案： C 【分析】 令，可解得的值，再求出的系数的值，从而可得结果. 【详解】解：令， 可得， 即， 含有的项为， 所以， 所以， 故选C. 【点睛】本题考查了二项式定理的知识，赋值法是常见的解题方法. 4. 有以下命题： ①命题“使”的否定是“ ”； ②椭圆的离心率为，则越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆； ③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称. 其中，错误的命题的个数是（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： D 略 5. 函数y=的定义域是（　　） A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4） 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}，由此能求出结果． 【解答】解：函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}， 解得{x|x≤4}， 故选C． 6. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（　　） A．向左平移个长度单位　　　B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位　　　D．向右平移个长度单位 参考答案： B 略 7. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中：①；②；③；④，其中正确的有（    ）个 A．1         B．2       C.3         D．4 参考答案： D ∵，分别为直线，的方向向量（，不重合）， ∴，； ∵，分别为平面，的法向量（，不重合）， 垂直同一平面的两直线平行 ∴， 法向量夹角与二面角的平面角相等或互补 ∴， 故选：D   8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（　　） A．S2013＞0，且S2014＜0 B．S2013＜0，且S2014＞0 C．a2013＞0，且a2014＜0 D．a2013＜0，且a2014＞0 参考答案： A 【考点】等差数列的性质． 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式即可得到结论． 【解答】解：∵﹣a2013＜a1＜﹣a2014， ∴a2013+a1＞0，a1+a2014＜0， ∴S2013= S2014=＜0， 故选：A． 9. 已知 △ABC 的顶点 B、C在椭圆 上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在线段BC上，则 △ABC的周长是（    ）   (A) 8         (B)       (C) 16     (D) 24 参考答案： C 10. 已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为             A．             B．             C．             D．  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程=bx+a必过点　　． 参考答案： （1.5，4） 【考点】线性回归方程． 【分析】要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果． 【解答】解：∵， =4， ∴本组数据的样本中心点是（1.5，4）， ∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4） 故答案为：（1.5，4） 12. 已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为　　． 参考答案： （1，）∪（2，+∞） 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】讨论当A，B均在右支上，可得c＞，当A，B在左右两支上，可得c＞2a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：当A，B均在右支上，可得c＞， 即有2b2＜ac，即2c2﹣ac﹣2a2＜0， 即为2e2﹣e﹣2＜0， 解得1＜e＜； 当A，B在左右两支上，可得c＞2a， 即有e＞2． 故答案为：（1，）∪（2，+∞） 13. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，焦点在直线上，则该抛物线的方程为__________; 参考答案： 略 14. 函数的增区间是________． 参考答案： 略 15. 为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是       ． 参考答案： 48  略 16. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .   参考答案： 1320 略 17. 已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点. （Ⅰ）证明：AC⊥SB； （Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离. 参考答案： 解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB. ∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.   （Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角 N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴ SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD. ∵SN=NB，∴NE=SD===， 且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2. （Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2. 设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE， ∴h==.即点B到平面CMN的距离为. 解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵ SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC= AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，∴AC⊥SB. （Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则       ·n=3x+y=0，                            取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)， ·n=-x+z=0， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==. ∴二面角N-CM-B的大小为arccos. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量， ∴点B到平面CMN的距离d==. 19. 斜棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，，E，F分别为A1C1和AB的中点。 （1）求证：平面CEF⊥平面ABC； （2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F-ECB的体积； （3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论. 参考答案： 解:（1） ； （2）∵，∴CE为三棱锥的高， 在中，可得， 又∵， ∴； （3）∵，∴，，，共面， .   20. 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上一点，AB=，AC=5，AD=5，∠ADB为锐角． （1）求角∠ADC的大小； （2）求CD的长． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（1）在三角形ADB中，利用正弦定理表示出sin∠ADB，求出∠ADB，确定出∠ADC的度数； （2）在△ADC中，设CD=x，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC即可求出CD的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵， ∴由正弦定理可得， QUOTE，即，… E∴，∵∠ADB为锐角，∴∠ADB=60°．…∴∠ADC=120°．… （2）在△ADC中，设CD=x，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC… ∴，即x2+5x﹣50=0，… （x+10）（x﹣5）=0，∴x=5，即CD=5．… 21. 解下列不等式： （1）﹣2x2+x＜﹣3 （2）x2﹣x+＞0． 参考答案： 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】由已知条件利用一元二次不等式的解题方法、步骤求解． 【解答】解：（1）∵﹣2x2+x＜﹣3， ∴2x2﹣x﹣3＞0， 解方程2x2﹣x﹣3=0，得x1=﹣1或x=， ∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}． （2）∵x2﹣x+=（x﹣）2＞0， ∴原不等式的解集为． 【点评】本题考查一元二次不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的解题方法、步骤的合理运用． 22. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值； 参考答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）. 试题分析：（Ⅰ）先利用正方形得到线线垂直，再利用面面垂直的性质定理进行证明；（Ⅱ）利用勾股定理证明线线垂直，合理建立空间直角坐标系，写出出相关点的坐标，求出相关平面的法向量，再通过空间向量的夹角公式进行求解. 试题解析：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC． （II）由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC． 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，． 设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=． 则，令，解得，∴． ，令，解得，∴． ===． ∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．