2023年内蒙古自治区呼和浩特市第三十九中学高二数学理联考试题含解析

2023年内蒙古自治区呼和浩特市第三十九中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）                    A．                 B．     C．            D． 参考答案： D 2. 已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（0，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：求导函数，可得y′=3x2﹣1， 当x=0时，y′=﹣1，∴函数f（x）=x3﹣x+1， 则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=﹣x，即x+y﹣1=0， 令x=0，可得y=1，令y=0，可得x=1， ∴函数f（x）=x3﹣x+1， 则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是×1×1=． 故选：C． 3. 某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为 A. 12    B. 13    C. 14    D. 15 参考答案： B 4. 已知向量，，若向量与向量互相垂直，则实数的值是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵，， ∴，， ∵与互相垂直， ∴， 解得：． 故选． 5. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　） A． B． C．π D．2π 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个倒放的圆锥，由正视图和侧视图都是边长为?的正三角形可知此圆锥的半径与圆锥的高，故解三角形求出其高即可求得几何体的表面积． 【解答】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，其底面半径为，且其高为正三角形的高 由于此三角形的高为，故圆锥的高为 此全面积为=， 故选：B． 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”． 6. 在集合中随机取一个元素，恰使函数大于1的概率为(　　) A．1                B.                 C.               D. 参考答案： C 7. 设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列命题中，错误的是（　　） A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β B．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ C．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β D．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】A，如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定； B，在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l； C，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β； D，如果α⊥β，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β； 【解答】解：对于A，如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定，可知A正确； 对于B，在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l，故正确； 对于C，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β，故正确； 对于D，如果α⊥β，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β，故错误； 故选：D． 8. 点是曲线上的动点，则的最大值为（　　）  A. 或     　          B.  C. 或 　D. 参考答案： A 9. 已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（    ）． A．        B．        C．       D．无法确定的 参考答案： B 10. 已知a1=1，an=n（an+1﹣an），则数列{an}的通项公式an=（　　） A．2n﹣1 B．（）n﹣1 C．n2 D．n 参考答案： D 【考点】数列递推式． 【专题】计算题． 【分析】先整理an=n（an+1﹣an）得=，进而用叠乘法求得答案． 【解答】解：整理an=n（an+1﹣an）得= ∴=×==n ∴an=na1=n 故选D 【点评】本题主要考查了数列的递推式．解题的关键是从递推式中找到规律，进而求得数列的通项公式． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列命题： ①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直； ②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α； ③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1． 其中真命题的是  　      ．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： 　①④ 【考点】平面的法向量． 【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用． 【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m； ②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α； ③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β； ④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值． 【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣）， ∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0， ∴⊥， ∴直线l与m垂直，①正确； 对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）， ∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0， ∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误； 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2）， ∴与不共线， ∴α∥β不成立，③错误； 对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0）， 向量=（1，u，t）是平面α的法向量， ∴， 即； 则u+t=1，④正确． 综上，以上真命题的序号是①④． 故答案为：①④． 【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目． 12. （5分）由下列事实： （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3， （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4， （a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5， 可得到合理的猜想是　_________　． 参考答案： 13. 若不等式的解集是（4，m），则a=        ，m=        . 参考答案：   略 14. 一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为       .   参考答案：    15. 已知点P，点Q (4,1,0)，若，且则       ▲      ． 参考答案： 略 16. 在△ABC中，若___________.s5u 参考答案： 略 17. 已知数列的通项与前项和之间满足关系， 则          . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设f（x）=，其中a为正实数． （Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点； （Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求f（x）的导函数，再利用f'（x）=0，根据单调性求极值点． （2）根据导函数与单调性的关系判断f'（x）≥0在R上恒成立，再利用二次函数图象和性质讨论解决． 【解答】解：对f（x）求导f′（x）=ex① （I）a=，f′（x）=0则4x2﹣8x+3=0解得x1=，x2= 综合①，可知   x （﹣∞，） （，） （，+∞） f′（x）= + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以，x1=是极小值点，x2=是极大值点． （II）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0，ax2﹣2ax+1≥0 在R上恒成立，因为△=4a2﹣4a≤0由此并结合a＞0，得0＜a≤1 19. 已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）． （Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值； （Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围； （Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞． 参考答案： 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案； （2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜ex﹣x在R上恒成立， 利用导数求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围； （3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法， 将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax， ∴f′（x）=ex﹣x﹣a， ∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a， ∵切线方程为y=2x+b，则k=2， ∴1﹣a=2，解得a=﹣1， ∴f（x）=ex﹣x2+x， ∴f（0）=1，即切点（0，1）， ∴1=2×0+b，解得b=1； （Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立， ∴a≤ex﹣x恒成立． 设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1． 当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） h′（x） ﹣ 0 + h（x） 减函数 极小值 增函数 ∴h（x）min=h（0）=1， ∴a≤1； （Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2， ∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax， ∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a， ∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2）， ∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2 当时，方程（*）不成立