2023年广西壮族自治区桂林市保宁中学高三数学理上学期期末试题含解析

2023年广西壮族自治区桂林市保宁中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （2016?成都模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（　　） A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解． 【解答】解：∵z=====1+2i， ∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2． 故选：D． 【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的化数形式的乘除运算法则的合理运用． 2. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式的系数为               （    ）     A．-150 B．150  C．-500 D．500 参考答案： B 略 3. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（　　） A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　 参考答案： B 4. 对任意实数, 若不等式恒成立, 则实数的取值范围是(     ) A． k≥1         B.  k >1        C . k≤1        D . k <1 参考答案： D 略 5. 下列四个函数：①②③④，其中是偶函数，又在区间（0，1）内增的函数的个数是                          (     )      A．0              B．1              C．2              D．3 参考答案： C 6. 设为数列的前项和，已知，若则 A.  512     B.  16     C.  64    D.  256 参考答案： D 7. 已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是(     ) A.     B.    C.    D. 参考答案： B 试题分析：∵等差数列单调递增，∴，∵，即，即，∴. 考点：等差数列的通项公式. 8. 数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于       A.1006       B.2012      C.503        D.0 参考答案： A． 因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数2，所以.故选A. 9. 已知全集为，集合，，则（    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 依题意，， ，故，故选A. 10. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（    ）     A． 47, 45, 56    B． 46, 45, 53     C． 46, 45, 56    D． 45, 47, 53 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线与圆于A，B，C，D四点，则|AB|．|CD|=________ 参考答案： 4 12. 已知函数f(x)=， ①方程f（x）=﹣x有　   　个根； ②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： ①1，②   【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断． 【分析】①画出函数的图形，即可得到解的个数； ②由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围． 【解答】解：①函数， 与y=﹣x的图象如图： 可知方程f（x）=﹣x有1个根． ②函数， ∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根， ∴y=f（x）与y=ax有2个交点， 又∵a表示直线y=ax的斜率， ∴y′=， 设切点为（x0，y0），k=， ∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0）， 而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=， ∴直线l1的斜率为， 又∵直线l2与y=x+1平行， ∴直线l2的斜率为， ∴实数a的取值范围是[，） 故答案为：①1，②． 　 13. 二项式的展开式中，常数项为            参考答案： 【知识点】二项式定理．J3 【答案解析】15   解析：第项，当时. 【思路点拨】二项式定理的运用，要求展开式的特征项，需要求出通项，从字母的指数入手． 14. 若的展开式中的系数为，则的值为________ 参考答案： 略 15. 某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取　　人． 参考答案： 8 【考点】分层抽样方法． 【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数． 【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1， 则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人 故答案为：8． 16. 已知，则函数的值域是    。 参考答案： 17. =          。 参考答案： ． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四棱锥中，底面是的菱形， 侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直， 为的中点. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求二面角的余弦值. 参考答案： 方法一： (Ⅰ)取CD的中点O，的中点，连接，ON，PO。在菱形中， 由于∠ADC=60°，∴为正三角形，则AO⊥CD，又PO⊥CD, 故CD⊥平面APO,  从而CD⊥PA. 又∵ ∴,  则四边形为平行四边形，所以. 在ΔAPO中，∵AO=PO,　∴ON⊥AP,  故AP⊥MC,  所以PA⊥平面MCD。………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 MC⊥平面PAB，∴，则∠NMB为二面角D-MC-B的平面角， 在RtΔPAB中，易得   ∴　　, 从而,    故所求二面角的余弦值为.………12分 方法二：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图， 则。  (Ⅰ) 由M为PB中点，∴ , ∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．……………6分 (Ⅱ),设平面BMC的法向量， 则由可得由可得，取。 所以可取。由(Ⅰ)知平面CDM的法向量可取……9分 。又易知二面角为钝二面角. ∴二面角的余弦值为．…………………12 略 19. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米， （1）船的航行速度是每小时多少千米？ （2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？ 参考答案： 【考点】HU：解三角形的实际应用． 【分析】（1）解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得； （2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB． 【解答】解：（1）在△BCP中， 在△ABC中，由正弦定理得：， 所以， 船的航行速度是每小时千米． （2）在△BCD中，由余弦定理得：， 在△BCD中，由正弦定理得：， 所以，山顶位于D处南偏东1350． 20. （本小题14分）已知函数且是函数的极值点. （I）求实数a的值，并确定实数m的取值范围，使得函数有两个零点；  （II）是否存在这样的直线，同时满足：①是函数的图象在点处的切线 ;  ②与函数的图象相切于点，如果存在，求实数的取值范围；不存在，请说明理由。 参考答案： 解答：：（I）时， 由已知， 得，所以时， ………………………………3分 令得舍去）。 x - 0 + 极小值 当时， 当时，单调递减， 当单调递增， 时， 要使函数有两个零点，即方程有两不相等的实数根，也即函数的图象与直线有两个不同的交点。  （1）当时，或   （2）当时，； （3）当时，  …………………………… 6分 （II）假设存在，时， 函数的图象在点处的切线的方程为：  直线与函数的图象相切于点， ，所以切线的斜率为 所以切线的方程为：即的方程为：， 得 得其中……………………………10分 记其中，， 令，得 1 + 0 - 极大值 又  所以实数b的取值范围为：………………………………14分  略 21. （12分） 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。        （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；        （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 参考答案： 解析：（I）        圆过点O、F，圆心M在直线上。        设则圆半径 由得        解得        所求圆的方程为        （II）设直线AB的方程为        代入整理得        直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。        记中点        则        的垂直平分线NG的方程为        令得               点G横坐标的取值范围为 22. （本小题满分15分）设．     (I)若以=0，求的极值；     ( II)若函数有零点，求a的取值范围． 参考答案：