2023年江苏省徐州市铜山经济开发区职业中学高三数学文月考试题含解析

2023年江苏省徐州市铜山经济开发区职业中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝(　　) A．＋p        B．1－p        C．1－2p       D．－p 参考答案： D 略 2. 已知集合，，则 A．      B．        C．     D． 参考答案： B 略 3. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 (     ) A．                   B．              C．1                    D． 参考答案： A 略 4. 若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为                                           A.1           B.                        C.       D. 参考答案： D 略 5. 2014年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在 点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是(  ) (A) (13, 44)          (B) (12, 44) (C) (13, 43)          (D) (14, 43) 参考答案： A 6. 若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】复数求模． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算． 【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得 ， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 7. 如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（   ） A．中位数是64.5                       B．众数为7 C．极差为17                           D．平均数是64 参考答案： A 由茎叶图可知8位学生的某项体育测试成绩的中位数是64.5，众数为67，极差为18，平均数是65，所以选项B、C、D错误，选项A正确，故选A.   8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（    ） （A）2 （B）1 （C） （D） 参考答案： D 由程序框图知，，；，；，；，；…∴是以3为周期循环出现的， 又，∴,，∴, 当时，便退出循环，∴输出。 9. 若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是                                                                                A．[1，＋∞）         B．[1，）          C．[1,2）                       D．[，2） 参考答案： B 10. 若，恒成立，则△ABC的形状一定是                   A．锐角三角形    B．直角三角形     C．钝角三角形     D．不能确定 参考答案： B 根据遇模平方，恒成立可以转化为:   由余弦定理得: 由正弦定理得:.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、正余弦定理以及推理论证能力,是难题.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 的值等于________. 参考答案： 略 12. 如图，正方体中，，分别为棱，上的点．已知下列判断：①平面；②在侧面 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关． 其中正确结论的序号为_____________（写出所有正确结论的序号）. 参考答案： ②③ 略 13. 若，试比较大小             ． 参考答案： 14. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为                参考答案： 略 15. 已知直角△ABC中, AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为           。 参考答案： 16. 模长为1的复数x，y，z满足x+y+z≠0，则的值是　  　． 参考答案： 1 【考点】A8：复数求模． 【分析】分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．利用复数的三角形式的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ． 则xy+yz+zx=cos（α+β）+isin（α+β）+cos（γ+β）+isin（γ+β）+cos（α+γ）+isin（α+γ） ∴|xy+yz+zx|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）． 同理可得|x+y+z|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）． ∴=1． 故答案为：1． 17. 设曲线处的切线与x轴的交点的横坐标为的值为_________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知双曲线的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为、，点E为右准线上的动点，的最大值为． （1）若双曲线的左焦点为，一条渐近线的方程为，求双曲线的方程； （2）求（用表示）； （3）如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为、，O为坐标原点，求证：．   参考答案： （1）方法1  设双曲线的方程为，则其渐近线的方程为，即．又∵一条渐近线的方程是，∴，得，．故双曲线的方程为． 方法2  ∵双曲线的一条渐近线是，即，∴可设双曲线的方程为．∵焦点是，∴由得，∴，∴双曲线的方程为． （2）设经过点A、的圆C与准线相切于点M，交于点N． ∵（当E与M重合时取“＝”）， ∴．∵，∴，又∵， ∴圆C的半径．由正弦定理得， ∴． （3）证明：方法1  当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入中得．设，线段PQ的中点为，则．同理，将代入渐近线方程中得 ．设，线段的中点为，则 ，∴，即线段PQ与线段有共同的中点．当直线l的斜率不存在时，即直线l垂直于x轴时，由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点．∴，即． 方法2  当直线l的斜率不存在或为零时，即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时，由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点，∴． 当直线l的斜率存在且不为零时，可设l：．设PQ的中点为，的中点为，则由点差法可得，且，∴点G、在直线：，即上．又∵点G、在直线l：上，∴点G、同为直线与的交点． 故点G、重合，∴，即． 19. 等差数列的前项和，数列满足．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立： ①； ②； ③；④； ⑤；⑥． （1）求数列的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数的值； （2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角的三角恒等式，并证明你的结论． 参考答案： （1）,;（2）详见解析   试题解析：（1）当时，                                   …1分     当时，         …3分    ∵当时， 适合此式 ∴数列的通项公式为  …5分 选择②，计算如下：                                     …6分 ＝ ＝＝                                               …8分 （2）由（1）知，， 因此推广的三角恒等式为   …10分 证明:       =  = =＝                                        …14分 考点：1求数列通项公式;2两角和差公式;3归纳推理. 20. （本小题满分14分） 如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围． 参考答案： 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．H8  H9  【答案解析】（Ⅰ）x2－＝1（x＞1）．（Ⅱ）(1，7)． 解析：（Ⅰ）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．…………………1分 当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．…………………2分 当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有 ∵m＜2，∴1＜m＜2．                       …………………10分 设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有 故的取值范围是(1，7)．……………………………………………………14分 【思路点拨】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0（x＞1）联立，消元可得x2-4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内,可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用＝，即可确定的取值范围． 21. 已知函数f（x）=ln（x+a）+，g（x）=lnx． （1）已知f（x）在[e，+∞）上是单调函数，求a的取值范围； （2）已知m，n，ξ满足n＞ξ＞m＞0，且g'（ξ）=，试比较ξ与的大小； （3）已知a=2，是否存在正数k，使得关于x的方程f（x）=kg（x）在[e，+∞）上有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）先求导，再根据f（x）在[e，+∞）上是单调函数，得到f′（x）≥0或f′（x）≤0，即可求出a的范围； （2）由题意得到，构造函数h（x）=2lnx﹣x+，（x＞1），利用导数求得h（x）的最大值，继而得到2lnx＜x﹣，令，化简整理即可得到ξ与的大小关系； （3）假设方程f（x）=kg（x）存在两个不相等的实数根x1，x2，且x2＞x1≥e，利用做商法得到，根据条件左边大于1，右边小于1，得到上式矛盾，问题得以证明． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵f（x）在[e，+∞）上单调， ∴或， ∴或， ∵当x≥e时，， ∴… （2）∵， ∴ 设， 则， ∴h（x）＜h（1）=0， ∴当x＞1时， 令， 得， ∴?， ∴， 即… （3）假设方程f（x）=kg（x）存在两个不相等的实数根x1，x2，且x2＞x1≥e， 则， 即???， ∵x2＞x1≥e， ∴， 而， ∴， ∴方程不存在两个不相等的实数根． … 【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及反证法，培