2023年广东省揭阳市仙桥中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2023年广东省揭阳市仙桥中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质． 【专题】压轴题；数形结合． 【分析】观察题设中的函数表达式，应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象． 【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）= 当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x 故f（x）=，故其图象应该为 综上，应该选D 【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象． 2. “”是“函数是奇函数”的（   ）   A. 充分不必要条件         B. 必要不充分条件   C. 充要条件               D.既不充分也不必要条件 参考答案： A 3. 以q为公比的等比数列中，，则“”是“”的 A．必要而不充分条件    B．充分而不必要条件 C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 4. 在极坐标系中，曲线关于  （    ） (A)直线轴对称                     (B)点中心对称  (C)直线轴对称                   （D）极点中心对称 参考答案： 答案：C 5. 设集合,,则                  （   ）  A．   B．     C．       D． 参考答案： C 略 6. 已知球面上有A、B、C三点，且AB=AC=，BC=2，球心到平面ABC的距离为，则球的体积为                                                     （    ）  （A）   （B）      （C）          （D） 参考答案： B 由题意，，可得， 又由球心到截面ABC的距离为，正好是球心到BC的中点的距离， 所以球的半径为， 所以球的体积为，故选B.   7. 设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是             (  　  　) A．直线l过点(，) B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在0到1之间 D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 参考答案： A 8. 命题“”的否定为 A.        B. C.        D. 参考答案： C 9. 若方程的根在区间上，则的值为（    ） A．             B．1             C．或2             D．或1 参考答案： B 略 10. 已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ） A. B. 2 C. D. 参考答案： B 【分析】 根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果. 【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示： 即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体 则三棱柱体积；三棱锥体积 所求体积 本题正确选项： 【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：①；②是函数图像的一条对称轴；③函数在区间上单调递增；④若方程．在区间上有两根为，则。以上命题正确的是____________．（填序号） 参考答案： 略 12. 直线和圆交于、两点,以为始边,,为终边的角分别为,,则的值为_________. 参考答案： 答案：  13. （5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是       ． 参考答案： （﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣） 考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围． 解答： ∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1， ∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x， x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2， 由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示 由图可以看出，当x=时，即D点． 若a≥0，则f（+a）≥f（），不满足题意．所以a＜0． 由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点． C点为f（﹣），此时a=﹣． 所以a的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣） 故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣） 点评： 本题考查了分段函数的图象和性质，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于难题． 14. 已知函数的最小正周期为，则正实数=          . 参考答案： 因为，且函数的最小正周期为，所以，所以。 15. 已知单位向量的夹角为120°，则          ． 参考答案： 单位向量 的夹角为120°，所以  . 所以 . 16. 已知{an}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+anan+1=           ． 参考答案： 考点：数列的求和；等比数列的通项公式． 专题：计算题． 分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案． 解答： 解：由 ，解得 ． 数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为， 所以， 故答案为． 点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息． 17. 如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 22、对正整数，记，。 （1）求集合中元素的个数； （2）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”。求的最大值，使能分成两人上不相交的稀疏集的并。 参考答案： ： 19. 已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，证明：恰有三个零点. 参考答案： （1）【考查意图】本小题以含对数函数的初等函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等. 【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题. 思路：先求得的定义域为，再求得，然后对的符号进行分类讨论.先直接判断当时，即，从而得到的单调区间；再对的情况结合一元二次方程的判别式及一元二次函数的图象，进一步分为和两种情况进行讨论，分别求得的单调区间. 【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误；分类讨论错误. 【难度属性】中. （2）【考查意图】本小题以函数的零点问题为载体，考查利用导数研究函数的极值和零点等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等. 【解法综述】只要掌握导数与函数的极值关系、零点存在定理等知识，结合函数的单调性合理选取含零点的区间的端点值，即可解决问题. 思路一：先根据（1）的结论得到时的单调性，结合函数的图象特征，根据可判断的极大值与极小值的符号，并在和分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算，的值，结合零点存在定理即可证明. 思路二：根据，将方程等价变形为，问题转化为研究函数的零点.先求得，再通过构造研究的单调性与极值，结合函数的图象特征，并在和分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算，，等，判断出在和各有一个零点，分别记为，，再判断在，，的单调性，以下解题思路同思路一. 【错因分析】考生可能存在的错误有：没有注意到，无法判断极值符号；不会通过特殊值找到函数的零点；重新构造函数求导后无法求得其导函数的零点，不会研究其导函数的性质，因此思路受阻. 【难度属性】难. 20. 某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率． （1）求该市所有县乡中学教师流失数不低于8的概率； （2）若从上述50所县乡中学中流失教师数不低于9的县乡学校中任取两所调查回访，了解其中原因，求这两所学校的教师流失数都是10的概率． 流失教师数 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 4 11 16 12 3 2 参考答案： 解：（1）由频数分布表可知教师流失数不低于8的概率为． （2）教师流失数是9的三所学校分别记为，，； 教师流失数是10的两所学校分别记为，， 从这5所学校中随机抽取2所，所有可能的结果共有10种， 它们是，，，，，，，，，， 又因为所抽取两所学校教师流失数都是10的结果有1种，即， 故所求的概率为． 21. （本小题满分14分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）如果当x>0，且时，，求k的取值范围. 参考答案： （1） 由于直线的斜率为，且过点， 故即 解得，。 （2）由（Ⅰ）知，所以 。 考虑函数，则。 (i)                                        设，由知，当时，。而， 故当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+. （ii）设00，故 (x）>0，而 h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。 （iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0] …………………………14分 22. （12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3， （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）若对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： （Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间，从而可求函数的最小值； （Ⅱ）由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，知2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，分离参数，求最值，由此能够求出实数a的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx， ∴f′（x）=1+lnx，x＞0， 由f′（x）=1+lnx＜0，可得0＜x＜，f′（x）=1+lnx＞0，可得x＞， ∴函数f（x）的减区间为（0，），增区间为（，