2023年安徽省阜阳市界首民办初级幸福中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2023年安徽省阜阳市界首民办初级幸福中学高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若的展开式中没有常数项，则n的可能取值是(    ) A．7 B. 8   C. 9        D. 10 参考答案： C 2. 如图，在正四面体中，分别是的中点，则下列四个结论中不成立的是                                                                     A．平面               B．平面 C．平面平面          D．平面平面 参考答案： C 3. 如图,在平行六面体中，为与的交点。若， ，则下列向量中与相等的向量是（    ）   A.              B.   C.              D. 参考答案： A 4. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为，外接球体积为，则为（      ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论. 【详解】设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R，所以BE=， 所以在中 ，， 解得，所以R=PE-HE=，所以， 根据的球的体积公式有，， 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比. 5. 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，f'（x）是f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，若两个正实数a，b  满足f（2a+b﹣4）＜1，则 a2+b2的取值范围是（　　） A． B．（1，36） C． D．（1，9） 参考答案： A 【考点】3L：函数奇偶性的性质；7D：简单线性规划的应用． 【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为不等式关系，利用线性规划的知识进行求解即可． 【解答】解：由f′（x）的图象知，当x＞0时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＜0时，f（x）＜0，函数为减函数， 即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值， ∵函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1， ∴不等式f（2a+b﹣4）＜1，等价为f（|2a+b﹣4|）＜f（2）， 即|2a+b﹣4|＜2， 即﹣2＜2a+b﹣4＜2，即2＜2a+b＜6 ∵a，b是正实数， ∴作出不等式组对应的平面区域对应的平面区域如图： a2+b2的几何意义是区域内的点到圆的距离的平方， 由图象知，O到直线2a+b=2的距离最小，OB的距离最大， 其中B（0，6），则|OB|=6， O到直线2a+b﹣2=0的距离d==， 则（）2＜a2+b2＜|OB|2， 即＜a2+b2＜36， 即 a2+b2的取值范围是（，36）， 故选：A 6. 已知实数，实数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（   ） A．                  B．               C．            D． 参考答案： A 7. 半径为3的球的体积等于 A.                  B.                    C.                 D.   参考答案： C 8. 直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是    （  ） A.     B.  且   C.    D.  非A、B、C结论 参考答案： D 9. 已知，则 (   ) A.    B.     C.       D.  参考答案： B 略 10. 过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2=﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】说明M是FN的中点．设抛物线的焦点为F1，说明OM为△NF2F1的中位线．通过NF2⊥NF1，于是可得|NF|=2b，设P（x，y），推出 c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可． 【解答】解：∵若，∴M是FN的中点． 设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点． ∵OM为△NF2F1的中位线．|OM|=a，∴|NF1|=2 a． ∵OM⊥MF， ∴NF2⊥NF1，于是可得|NF|=2b， 设N（x，y），则 c﹣x=2a， 于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a． 由勾股定理得 y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2）， 变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2 有 e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数y＝的图象与函数y＝ax－3a的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________． 参考答案： (－∞，0)　 12. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是    ▲    ． 参考答案： 略 13. 过椭圆左焦点F1作弦AB，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是　　． 参考答案： 16 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】依椭圆的定义得：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a 【解答】解：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2 又∵AF1+AF2+=2a，BF1+BF2=2a，∴AF1+BF1+AF2+BF2=4a=16 故答案为：16 14. △ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），则其外接圆直径等于　  　． 参考答案： 3 【考点】正弦定理． 【分析】由正弦定理和△ABC的外接圆半径表示出sinA、sinB、sinC，代入已知的式子化简后求出答案． 【解答】解：由正弦定理得，， 且R是△ABC的外接圆半径， 则sinA=，sinB=，sinC=， 因为△ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC）， 所以a+b+c=3（sinA+sinB+sinC）=3（++）， 化简得，2R=3， 即其外接圆直径等于3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了正弦定理的应用：边角互化，属于基础题． 　 15. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______ 参考答案： -2      16. 关于实数不等式的解集是       . 参考答案： 17. 已知函数，那么对于任意的，则此函数的最大值与最小值之和为___  ___．   参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， （1）求b； （2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出； （2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0）， ∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， ∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+， ∴=． ①当a时，则， 则当x＞1时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增， ∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即， 解得； ②当a＜1时，则， 则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减； 当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增． ∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是， 而=+，不符合题意，应舍去． ③若a＞1时，f（1）=，成立． 综上可得：a的取值范围是． 19. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小； （2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值． 参考答案： 【考点】解三角形． 【专题】解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C． （2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值． 【解答】解：（1）∵=2csinA ∴正弦定理得， ∵A锐角， ∴sinA＞0， ∴， 又∵C锐角， ∴ （2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC 即7=a2+b2﹣ab， 又由△ABC的面积得． 即ab=6， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25 由于a+b为正，所以a+b=5． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 20. 正方体的棱长为1，以D为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，点在线段上，点在线段上，且，，求： (1) ；(2)的坐标. 参考答案： 解：(1)由题意可知，，， ， 所以，…………………2分 ，……………4分 所以 所以        ……………………………6分 (2)设点，，则……………7分 因为，且， 所以，………………………………………………9分 即， 化简得     解得………………………………11分 所以的坐标为……………………………………………12分 21. 已知复数z=（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R） （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值． 参考答案： 【考点】复数相等的充要条件；复数的基本概念． 【分析】（1）利用纯虚数的定义即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【解答】解：（1）∵z=（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）为纯虚数， ∴m﹣1=0且2m+1≠0∴m=1… （2）z在复平面内的对应点为（m﹣1，2m+1）） 由题意：，∴． 即实数m的取值范围是．… 而|z|===， 当时， =．… 　 22. （本题满分14分） 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（包括端点）上一动点．现将沿折起，使平面ABD⊥平面ABC．  (1) 证明:平面BDC⊥平面ABD （2）若F恰好在E位置时，求四棱锥D-ABCF的体积。 （3）在平面内过