2021-2022学年广东省梅州市东山中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省梅州市东山中学高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线与曲线相切于点，则的值为（   ） A.-3             B.9              C.-15            D.-7 参考答案： C 略 2. 设是函数f(x)的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（   ） A．               B．           C.                  D． 参考答案： D 选项A中，若，则，满足题中的图象关系； 选项B中，若为图象恒在轴上方部分的图象，则单调递增，满足题中的图象关系； 选项C中，若为图象恒在轴上方部分的图象，则单调递增，满足题中的图象关系； 选项D中，若为图象恒在轴上方部分的图象，则单调递增，不满足题中的图象关系； 若为图象恒在轴下方部分的图象，则单调递减，也不满足题中的图象关系； 综上可得：图象关系不可能是D选项. 本题选择D选项.   3. 空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个以上 参考答案： C 【考点】空间向量的基本定理及其意义． 【分析】利用基底的定义以及平面的基本性质，判断即可． 【解答】解：空间的一个基底{a，b，c}，说明三个向量不共线， 又两条相交直线确定一个平面， 所以空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为3个． 故选：C． 【点评】本题考查空间向量基底的定义，平面的基本性质，基本知识的考查． 4. 已知p：|x|≤2，q：0≤x≤2，则p是q的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 考点：充要条件． 专题：计算题． 分析：通过解绝对值不等式化简命题p，判断p成立是否推出q成立；q成立是否推出p成立；利用各种条件的定义判断出p是q的什么条件． 解答： 解：∵|x|≤2?﹣2≤x≤2 即命题p：﹣2≤x≤2 若命题p成立推不出命题q成立，反之若命题q成立则命题p成立 故p是q的必要不充分条件 故选B 点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件的一般步骤：先化简各个命题，再判断前者是否推出后者；后者是否推出前者；利用各种条件的定义加以判断． 5. 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】DC：二项式定理的应用；C7：等可能事件的概率． 【分析】要求展开式中的有理项，只要在通项中，让x的指数为整数，求解符合条件的r，求出有理项的数目，通过古典概率的计算公式可求 【解答】解：由题意可得二项展开式的通项= 根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个 所求的概率为 故选 B． 6. 过点且与曲线相交所得弦长为的直线方程为(      ) A．                B．或 C．或       D．或 参考答案： C 7. 圆的周长是   （    ） A．    B．  C．．  D． 参考答案： A 略 8. 以下对形如“（）”的直线描述正确的序号是  ▲  ． ①能垂直于轴；②不能垂直于轴；③能垂直于轴；④不能垂直于轴． 参考答案： ②③ 略 9. 学校要从10个同学中选出6个同学参加学习座谈会，其中甲、乙两位同学不能同时参加，则不同的选法共有 A. 140                                                               B. 112 C. 98                                                                 D. 84 参考答案： A 10. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 参考答案： D 【考点】数列与三角函数的综合；三角形的形状判断． 【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA?sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状． 【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sinA、sinB、sinC成等比数列， ∴sin2B=sinA?sinC=，② 由①②得：sinA?sin =sinA?（sin120°cosA﹣cos120°sinA） =sin2A+? =sin2A﹣cos2A+ =sin（2A﹣30°）+ =， ∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120° ∴∠A=60°． 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. .如图，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图所示的平行四边形KLMN，且中间的四边形ORQP为正方形.在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________ 参考答案： 【分析】 设正方形的边长为，正方形的边长为，分别求出阴影部分的面积和平行四边形的面积，最后利用几何概型公式求出概率. 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为，在长方形中， ， 故平行四边形的面积为， 阴影部分的面积为，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是. 12. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照右图排列的规律， 第n行从左向右的第1个数为___________．       参考答案： 13. 某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是　▲    参考答案： 18号 略 14. 已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____. 参考答案： 【分析】 对于函数求导，可知或 时，， 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解. 【详解】对于函数 ， 当或 时，，当时，， 所以 一定存在增区间， 若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.， 则不能为增函数， 所以 ， 解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15. 已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m=　　． 参考答案： 12 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，利用离心率公式计算求解即可． 【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1， 可知a=，b=3，c=， ∵离心率是e=，∴ ==， 解得m=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题． 16. 巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，＝，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为          ． 参考答案： 17. 已知中, 已知BC=2,，则的面积的最大值为___________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是    （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；    （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。 参考答案： 19. （1）已知集合，．p：，q：，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． （2）已知p：，，q：，，若为假命题，求实数m的取值范围． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）由二次函数的性质，求得，又由，求得集合， 根据命题是命题的充分条件，所以，列出不等式，即可求解． （2）依题意知，均为假命题，分别求得实数的取值范围，即可求解． 【详解】（1）由，∵，∴，， ∴，所以集合， 由，得，所以集合， 因为命题是命题的充分条件，所以，则，解得或， ∴实数的取值范围是. （2）依题意知，，均为假命题， 当是假命题时，恒成立，则有， 当是假命题时，则有，或. 所以由均为假命题，得，即. 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 20. (13分)已知双曲线的离心率且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程. 参考答案： 21. 已知向量满足. (1）求的值； (2）求的值. 参考答案： （1）由｜｜=2得 ， 所以. (2），所以. 22. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P-CD-B余弦值的大小； (3)求点C到平面PBD的距离． 参考答案： (1)见解析，(2) (3) 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系， 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分 在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0）， ∴ ∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A， ∴BD⊥平面PAC. …………4分 解：（2）由（1）得. 设平面PCD的法向量为，则， 即，∴故平面PCD的法向量可取为 ∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………………………7分 设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得. ……………………………9分 （3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为， 则，即，∴x=y=z，故可取为. ………11分 ∵，∴C到面PBD的距离为…………………13分 考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。 【点睛】综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。