2021年湖南省常德市杉板中学高二数学文上学期期末试题含解析

2021年湖南省常德市杉板中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知奇函数当时，，则当时，的表达式是 A、        B、     C、        D、 参考答案： A 2. 已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后可得y=sin[2（x+）+φ]（0＜φ＜π），再依据它是偶函数得，2×+?=，从而求出?的值． 【解答】解：∵函数y=sin（2x+?）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后可得y=sin[2（x+）+?]（0＜φ＜π）， 又∵它是偶函数， ∴2×+φ=， ∵0＜φ＜π， ∴φ的值． 故选：D． 3. 直线（t为参数）的倾斜角是                     （    ） A.          B.       C.           D. 参考答案： C 4. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 参考答案： B 【考点】双曲线的应用． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△F1PF2的面积为2，确定P的坐标，利用向量的数量积公式，即可求得结论． 【解答】解：双曲线的两个焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0） 设P的坐标为（x，y），则 ∵△F1PF2的面积为2 ∴ ∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|= ∴=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=3 故选B． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量的数量积运算，确定P的坐标是关键． 5. 一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形内的概率是                                   （      ） ．         .       .       .  参考答案： A 6. 直线关于轴对称的直线方程为（   ）    A.        B.       C.        D. 参考答案： C 7. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据 如下： f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054   那么方程的一个近似根（精确到0.1）为      A．1.2             B．1.3             C．1.4              D．1.5 参考答案： C 略 8. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限. 详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系. 9. 已知x,y满足条件（k为常数），若目标函数的最大值为8，则k= A. B. C. D.6 参考答案： B 10. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设 满足约束条件  ，则的最大值为          。 参考答案： 5 12. 已知都是正实数， 函数的图象过点，则的最小值是       .   参考答案： 略 13. 函数的定义域是________________ 参考答案： 14. 已知“3x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件，则p的取值范围是____________． 参考答案： 略 15. 给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是          参考答案：  从运行到步长为，运行次数为499 16. 在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为，则点到直线的距离                   ． 参考答案： 2 略 17. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题16分）野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架（如图3）进行野炊训练。 已知，、两点间距离为。 （1）求斜杆与地面所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）将炊事锅看作一个点，用吊绳将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅到地面及各条斜杆的距离都不小于30，试问吊绳长的取值范围。 参考答案： （1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO，， 在Rt△POC中，，所以 。   即PC与底面ABC所成角的大小为。                 ……6分 （2）在Rt△POC中，解得， 作交PC于D点， 由，得。               又,                 故吊绳长度的取值范围为.          ……………………………16分 略 19. 已知的角所对的边，且． （1）求角的大小； （2）若，求的最大值并判断这时三角形的形状. 参考答案： 解．（1）由正弦定理得， 所以， ，所以，求得    （2）由余弦定理得， 所以，所以的最大值为2，当且仅当时有最大值，这时为正三角形。 略 20. 已知椭圆的右焦点为，且过点. 过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于、两点(点在轴上方)，点关于坐标原点的对称点为，直线、分别交直线于、两点. (1) 求椭圆的方程； (2) 当直线的斜率为时，求的值. 参考答案： (1) 解：由, ………………………………………………………………(2分) 解得. 所以椭圆的方程为. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线的方程为.  …………………………………………………(5分) 由 ，得或. 所以，，从而.  …………………………(8分) 因而，直线的方程为，. …………………………(10分) 直线的方程为，. …………………………(12分) . …………………………………………………………(14分) 21. 已知函数，，. （1）求f(x)的最小值； （2）关于x的方程有解，求a的取值范围. 参考答案： （1）详见解析；（2）. 【分析】 （1）令，则，化简函数得，利用二次函数的性质，即可求解． （2）把方程有解，转化为方程在上有解，即， 利用的性质，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数， 令，则在上单调递增，∴， 此时. 当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的最小值为． （2）方程有解，由（1）得方程在上有解， 而，即. 又因为在上单调递减，上单调递增， ∴当时，，当且仅当时，等号成立， 又由函数为奇函数，∴当时，. ∴的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了与二次函数复合的函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及二次函数的图象与心智，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 22. （1）已知中至少有一个小于2． （2）已知a＞0，﹣＞1，求证：＞． 参考答案： 【考点】R6：不等式的证明． 【分析】（1）使用反证法证明； （2）使用分析法证明． 【解答】证明：（1）假设都不小于2， 则， ∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b， 两式相加得：2+a+b≥2（a+b），解得 a+b≤2， 这与已知a+b＞2矛盾， 故假设不成立， ∴中至少有一个小于2． （2）∵﹣＞1，a＞0，∴0＜b＜1， 要证＞，只需证?＞1， 只需证1+a﹣b﹣ab＞1，只需证a﹣b﹣ab＞0，即＞1． 即﹣＞1．这是已知条件， 所以原不等式成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，属于中档题．