2021年江西省赣州市正平中学高一数学理期末试卷含解析

2021年江西省赣州市正平中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列说法正确的是 ( ) 平面内有两条直线和平面平行，那么与平行； 平面内有无数条直线和平面平行，那么与平行； 平面内的三个顶点到平面的距离相等，那么与平行； 平面内的两条相交直线和平面内的两条相交直线分别平行，那么与平行。　    ．          ．          ．         ． 参考答案： D 2. 正四棱柱是中点，则与所成角是 (A)       (B)        (C)        (D) ks5u 参考答案： C 略 3. 命题“?x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是(　　) A．?x∈R，x2＋3x－1＜0　　 B．?x∈R，x2＋3x－1≥0 C．?x∈R，x2＋3x－1≤0  D．?x∈R，x2＋3x－1＜0 参考答案： A 解析：由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为?x∈R，x2＋3x－1＜0.故选A. 4. 设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则（    ） （A）{0,1,3}        （B）{1,3}        （C）{1,2,3}        （D）{0,1,2,3} 参考答案： B 由题 ，则.故选B   5. 在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，，则=（　　） A． B． C．3 D．﹣3 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算；8G：等比数列的性质；HR：余弦定理． 【分析】先求a+c的平方，利用a、b、c成等比数列，结合余弦定理，求解ac的值，然后求解． 【解答】解：a+c=3，所以a2+c2+2ac=9…① a、b、c成等比数列：b2=ac…② 由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB…③ ， 解得ac=2， =﹣accosB= 故选B． 6. 已知直角△ABC，∠ABC =90°，AB=12，BC=8，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着直线DE翻折至△PDE，形成四棱锥P-BCED，则在翻折过程中，①；②PE⊥BC；③PD⊥EC；④平面PDE⊥平面PBC，不可能成立的结论是（    ） A．①②③         B．①②       C. ③④        D．①②④ 参考答案： D 由题易知，平面时，有成立，故③能成立，又在翻折的过程中，平面与平面的二面角的平面交就是，由翻折轨迹观察，不可能为直角，故④不能成立， 所以由选项可知，①②④不可能成立，故选D。   7. 化简的值是                                               （　   ） A．          B．       C．       D．                          参考答案： D 略 8. 椭圆和双曲线的公共焦点为、 ,是两曲线的一个交点，那么的值是   （    ） A．       B．        C．         D． 参考答案： A 略 9. 下列函数中，在区间为增函数的是（     ） .    .    .   . 参考答案： A 略 10. 计算,结果是（  ） A.1        B.       C.        D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若A，B，C为的三个内角，则的最小值为         . 参考答案： 12. 满足条件的集合M有          个． 参考答案： 8 由题意可得M中必含有元素1和2,也就是至少两个元素，所以两个元素集{1,2},三个元素集{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}，四个元素集{1,2,3,4}、{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，五个元素集{1，2，3，4，5，}，共8个。   13. 函数的定义域为_____               ________. 参考答案： {x|} 14. 已知点在圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为      参考答案： 略 15. 函数上的最大值与最小值的和为3，则       参考答案： 2 16. 若a + b = 45 0 ，则(1 + tana )(1 + tanb ) = ______ 参考答案： 2 17. 设函数f（x）=为奇函数，则a=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）=0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值． 【解答】解：∵函数为奇函数， ∴f（x）+f（﹣x）=0， ∴f（1）+f（﹣1）=0， 即2（1+a）+0=0， ∴a=﹣1． 故应填﹣1． 【点评】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求a而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）． （Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若方程f（x）﹣t=1在x∈[0，]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间． （Ⅱ）把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围． 【解答】解：（I）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x++1 2sin（2x+）+1 令（k∈Z） 解得：（k∈Z） 由于x∈[0，π] f（x）的单调递增区间为：[]和[]． （Ⅱ）依题意：由2sin（2x+）+1=t+1 解得：t=2sin（2x+） 设函数y1=t与 由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，]内恒有两个不相等的交点． 因为： 所以： 根据函数的图象： ，t∈[1，2] 时，，t∈[﹣1，2] 所以：1≤t＜2 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题． 19. (本小题12分)某次测试有900人参加，满分为100分，为了了解成绩情况，抽取了50名同学的成绩进行统计. (1) 将频率分布表补充完整；   (2) 绘制频率分布直方图； (3) 估计全体学生中及格(不低于60分)的人数大约是多少. 分  组 频数 频率 [40，50） 4   [50，60）   0.12 [60，70） 9   [70，80） 15   [80，90）   0.22 [90，100）     合  计 50   频率/组距   分数     参考答案： (本题12分)     (3) 及格人数大约是720． 略 20. （本小题满分14分） 递增等比数列中（），已知，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）记的前项和为（），求证. 参考答案： （1）依题意可列得：，化简可得：，……1分 即为：，解得：，或，………………2分 而数列{}是递增数列，故，………………3分 则.………………4分 (2)依题意可列得：，即：， ①当时，则易得：，解得：，………………5分 ②当时，则，………………6分 而，………………7分 而易知：当时，的值是16；而当时，是， 故.………………8分 综合①、②可得：.………………9分 （2）①当时，则易得：，显然成立；………………10分 ②当时，则，…………11分 即有：，………………12分 故+……+ 即：， 综合①、②可得：命题得证. ………………14分 21. （12分）已知函数f（x2﹣1）=loga（a＞0且a≠1） （1）求函数f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性； （2）解关于x的方程f（x）=loga． 参考答案： 考点： 对数函数的图像与性质；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： （1）化简f（x2﹣1）=loga=loga，从而得，x∈（﹣1，1），再判断f（﹣x）与f（x）的关系即可； （2）方程f（x）=loga可化为?x=1；从而解得． 解答： （1）∵f（x2﹣1）=loga=loga， ∴，x∈（﹣1，1）， 又∵f（﹣x）++loga=0； 则f（x）是奇函数； （2）方程f（x）=loga可化为?x=1； 解得，． 点评： 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了方程的解法，属于基础题． 22. 某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（图象如图所示）． （1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式； （2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S元，     ①求S关于x的函数表达式；     ②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】常规题型． 【分析】（1）首先根据一次函数y=kx+b的表达式代入数值化简，然后求出k，b并求出一次函数表达式． （2）①通过（1）直接写出s的表达式并化简      ②根据二次函数判断最值． 【解答】解：（1）由图象可知，， 解得，， 所以y=﹣x+1000（500≤x≤800）． （2）①由（1） S=x×y﹣500y =（﹣x+1000）（x﹣500） =﹣x2+1500x﹣500000，（500≤x≤800）． ②由①可知，S=﹣（x﹣750）2+62500， 其图象开口向下，对称轴为x=750， 所以当x=750时，Smax=62500． 即该公司可获得的最大毛利润为62500元， 此时相应的销售单价为750元/件． 【点评】本题考查函数模型的应用，以及一元二次函数，二次函数的应用，属于基础题．