2022-2023学年浙江省嘉兴市桐乡第十中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省嘉兴市桐乡第十中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值． 【解答】解：∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn， ， ==== 故选D． 【点评】本题考查等差数列的性质，是一个基础题，题目只要看出数列的基本量的运算，这种题目一般是一个送分题目． 2. 已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为（   ） A．                         B．                          C．                         D．5 参考答案： C 略 3. 已知A(1,2,－1),B(5,6,7)，则直线AB与xOz平面交点的坐标是（ ） A．(0,1,1)         B．(0,1,－3)       C.(－1,0,3)         D．(－1,0,－5) 参考答案： D 设直线AB与平面交点为，则，又与共线，所以，则，解得，选D.   4. 直线与圆的位置关系是（   ）     A．相离          B．相交           C．相切            D．不确定 参考答案： D 略 5. 是等腰三角形，=，则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 A.     B.      C.      D. 参考答案： B 由题意知设焦距为2c，则|AB|=2c,|BC|=2c,则|AC|=2|AB|cos30°=, 【答案】 略 6. 已知函数，则f(x)的大致图像是（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用函数值的正负及在单调递减，选出正确答案. 【详解】因为，排除A，D； ，在同一个坐标系考查函数与的图象， 可得，在恒成立，所以在恒成立， 所以在单调递减排除B，故选C. 【点睛】根据解析式选函数的图象是高考的常考题型，求解此类问题没有固定的套路，就是要利用数形结合思想，从数到形、从形到数，充分提取有用的信息. 7. 函数在的零点个数为（  ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 参考答案： B 【分析】 令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 8. 设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（  　　　  ） A． 1 　　B.  　　　   C.  2 　  　D.  参考答案： A 略 9. 已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：计算题；概率与统计． 分析：由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得． 解答： 解：求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2， 要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根， 即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b， 又a，b的取法共3×3=9种， 其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1）， （3，0），（3，1），（3，2）共6种， 故所求的概率为P= 故选D 点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的极值问题，属基础题． 10. 正方形的边长为，平面， ，那么到对角线的距离是（   ）        A．　　　     B．　         C．   　　     D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题： ①若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC； ②若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为； ③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为； ④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P﹣ABC的体积为 ； 其中正确命题的序号是　    　（把你认为正确命题的序号都填上）． 参考答案： ①④   【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】运用三棱锥的棱长的关系，求解线段，面积，体积，把三棱锥镶嵌在长方体中，求解外接圆的半径， 【解答】解：对于①，∵△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3， ∴PM丄平面ABC，且M是AB边中点，∴MA=MB=MC ∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，∴PA=PB=PC，∴①正确， 对于②，∵当PC⊥面ABC，∴△PCM面积=×PC×CM=×5×CM 又因为CM作为垂线段最短=，△PCM面积的最小值为=6，∴②不正确． 对于③，∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3， ∴三棱锥P﹣ABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，∴2R=5，∴体积为，故③不正确． 对于④，∵△ABC的外接圆的圆心为O，PO⊥面ABC，∵P2=PO2+OC2，r==1， OC=，PO2=25﹣2=23，PO=， ××3×4×=2，故④正确 故答案为：①④ 　 12. (几何证明选讲)如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPA=30°,PC=_________ cm 参考答案： 略 13. 已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，C﹣B=，则c﹣b的取值范围是　　． 参考答案： （，1） 【考点】三角函数的最值． 【分析】用B表示出A，C，根据正弦定理得出b，c，得到c﹣b关于B的函数，利用B的范围和正弦函数的性质求出c﹣b的范围． 【解答】解：∵C﹣B=， ∴C=B+，A=π﹣B﹣C=﹣2B， ∴sinA=cos2B，sinC=cosB， 由A=﹣2B＞0得0＜B＜． 由正弦定理得， ∴b==，c==， ∴c﹣b===． ∵0＜B＜，∴＜B+＜． ∴1＜sin（B+）． ∴． 股答案为（，1）． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=    ． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长． 【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2， ∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==， ∴∠ECD=60°， 在△ECD中，CD=AB=，EC=， 根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC?CDcos∠ECD=+3﹣=， 则ED=． 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．   15. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为          ，表面积为          ． 参考答案： ， 如图所示，在长宽高分别为2,2,1的长方体中，三视图对应的几何体为图中的四棱锥，其中点P为棱的中点， 其体积， 考查各个面的面积： ，,, 等腰△PAD中，AD=2，，则其面积为：， 则其表面积为：. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 16. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为                                （　 ）        A．                   B．                   C．                 D． 参考答案： C 略 17. 当时，下面的程序段输出的结果是      If  Then Else Print   y　　 参考答案： 6  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=． 参考答案： 考点： 数学归纳法．3804980 专题： 证明题． 分析： 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可． 解答： 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边==1， ∴等式成立…2分 （2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=…4分 那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+（k+1）3=+（k+1）3…6分 =（k+1）2?（+k+1） =（k+1）2? = =…8分 这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分 根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立…10分 点评： 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题． 19. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAB； （Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB； （Ⅱ）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角． 【解答】解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形； ∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB； （Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直； 如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，所以： P（0，0，1），A（0