2022-2023学年湖南省益阳市桃江第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省益阳市桃江第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （x3+）10的展开式中的常数项是（      ）  A．    B．       C．     D． 参考答案： B 略 2. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积． 【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r． 【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则 8﹣r+6﹣r=， ∴r=2． 故选：B． 3. 下列有关命题的说法正确的是（  ） A．若向量a、b满足a·b = 0 ，则a = 0或者b = 0； B．“”是 “”的必要不充分条件； C．命题“,使得”的否定是：“,均有”； D．命题“若”的逆否命题为真命题. 参考答案： D 4. 椭圆的焦距为2，则m的值等于(　　) A.5  B.3 C.5或3     D.8 参考答案： C 由题意可得：c=1． 椭圆的焦点在x轴上时，m-4=1，解得m=5． 当椭圆的焦点在y轴上时，4-m=1，解得m=3.故选C.   5. 若直线不平行于平面，且，则(　　)． A、内的所有直线与异面           B、内不存在与平行的直线 C、内存在唯一的直线与平行       D、内的直线与都相交 参考答案： B 略 6. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，a=1，则等于（　　） A．1 B．2 C． D． 参考答案： B 【考点】正弦定理． 【分析】由已知及正弦定理可求b=2sinB，c=2sinC，化简所求即可计算得解． 【解答】解：∵A=30°，a=1， ∴由正弦定理可得：，可得：b=2sinB，c=2sinC， ∴==2． 故选：B． 7. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为(     ) A．9 B．10 C．11 D．12 参考答案： A 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k﹣1）d=24，从而得到2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，由此能求出k． 【解答】解：∵等差数列{an}中，公差d≠0，S11=132， ∴， ∴（2a1+10d）×=132， ∴a1+5d=12， ∵a3+ak=24， ∴2a1+2d+（k﹣1）d=24， ∴2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d， ∴2+k﹣1=10， 解得k=9． 故选：A． 【点评】本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用． 8. 点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值 是  A.    １     　　 B.         　  C.    2      　 D.  参考答案： B 9. 设点P对应的复数为－3+3i，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A. B. C. D. 参考答案： A 分析：先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标． 详解：点P对应的复数为，则点P的直角坐标为，点P到原点的距离， 且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为， 故选：A． 点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点． 10. 过点且与直线垂直的直线方程是(　  ) A．   B． C．     D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是          参考答案：  从运行到步长为，运行次数为499 12. 用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是________． 参考答案： an＝2n＋1 略 13. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知a，b，c是公差为4的等差数列，且△ABC的最大内角为120°，则最大边的长度为________. 参考答案： 14 14. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是　　． 参考答案： 4 【考点】棱柱的结构特征． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】设DF长为x，则DE=EF=x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，从而用x表示出EG，FI，FH，从而将问题转化到Rt△DHF中，有DF2=DH2+FH2求解． 【解答】解：如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为正三角形， 边长为4，△DEF为等腰直角三角形， DF为斜边，设DF长为x，则DE=EF=， 作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1， 则EG==，FI==， FH=FI+HI=FI+EG=2， 在Rt△DHF中，DF2=DH2+FH2， 即x2=16+（2）2，解得x=4． 即该三角形的斜边长为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，主要涉及了正棱柱，一是底面是正多边形，二是侧棱与底面垂直，还考查了转化思想，属中档题． 15. 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为         ． 参考答案： 或 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积． 【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形， 当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=； 当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=， 综上所求圆柱的体积是：或． 故答案为：或； 【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误． 16. 若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 则（a0+a2+a4）2－（a1+a3）2   的值为______________________ 参考答案： 1 17. 函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]则b－a的最小值为_______ 参考答案： 2/3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）（2011?西安校级模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB=BC=2，O是底面对角线的交点． （Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D； （Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D； （Ⅲ）求三棱锥A1﹣DBC1的体积． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．  【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）直接根据B1D1∥BD，以及B1D1在平面BC1D外，即可得到结论； （Ⅱ）先根据条件得到BD⊥平面ACC1A1?A1O⊥BD；再通过求先线段的长度推出A1O⊥OC1，即可证明A1O⊥平面BC1D； （Ⅲ）结合上面的结论，直接代入体积计算公式即可． 【解答】解：（Ⅰ） 证明：依题意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．（2分） ∴B1D1∥平面BC1D（3分） （Ⅱ） 证明：连接OC1 ∵BD⊥AC，AA1⊥BD ∴BD⊥平面ACC1A1（4分） 又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上 ∴A1O⊥BD（5分） ∵AB=BC=2∴ ∴ ∴Rt△AA1O中，（6分） 同理：OC1=2 ∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12 ∴A1O⊥OC1（7分） ∴A1O⊥平面BC1D（8分） （Ⅲ）解：∵A1O⊥平面BC1D ∴所求体积（10分） =（12分） 【点评】本题主要考查线面垂直与线面平行的证明以及三棱锥体积的计算．是对立体几何知识的综合考查，难度不大，属于中档题． 19. （本小题满分10分） (1) 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，用分析法求证： (2) 先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． 参考答案： 20. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且asinA+bsinB﹣csinC=asinB （1）确定∠C的大小； （2）若c=，△ABC的面积为，求a+b的值． 参考答案： 【考点】余弦定理的应用． 【专题】综合题；方程思想；综合法；解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式得到一个关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C； （2）利用△ABC的面积为，求出ab，再利用余弦定理，求a+b的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据正弦定理，原等式可转化为：a2+b2﹣c2=ab， ∴cosC==， ∵C为三角形的内角， ∴C=60°； （2）∵△ABC的面积为， ∴=， ∴ab=6， ∵c=， ∴7=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣18， ∴a+b=5． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 21. （本小题满分12分）     如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面,点是的中点,是的中点．     (1)求证：∥平面；     (2)求证： 参考答案： (1)证明： 取中点为，连  ∵ 是的中点  ∴是的中位线,∴    ∵ 是中点且是菱形，，∴ . ∴     ∴ 四边形是平行四边形.  从而 ,       ∵ 平面 ,平面,      ∴  ∥平面    …………………………………………6分 (2) 证明：连结          ∵底面是菱形，     ∴是等边三角形             ∵是的中     ∴                ∵平面,    ∴           ∴           ∵       ∴…………………12分 22. 设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4且． （1）求该抛物线的标准方程． （2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值． 参考答案： 【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K7：抛物线的标准方程． 【分析】（1）由?=0，结合点P，Q在抛物线上，代入坐标后得到y1y2=﹣4p2，把纵坐标转化为横坐标后利用|x1x2|=4可求得p的值，则抛物线方程可求； （2）连接PQ，PR分别叫x轴与点E，M，设出E和M的坐标，同时设出PQ，PR所在的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q，R三点纵坐标的关系，再根据Q是T和R的中点找到E和M的坐标的关系，最终求出P和R纵坐标的乘积，用