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2022年广东省深圳市罗芳中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,下列向量中与平行的向量是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 若直线2ax+by﹣2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0,则+的最小值是( )
A.2﹣ B.﹣1 C.3+2 D.3﹣2
参考答案:
C
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由题意可得直线2ax+by﹣2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心,可得a+b=1.再根据+=+=3++,利用基本不等式求得它的最小值.
【解答】解:由题意可得直线2ax+by﹣2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心(1,2),
故有2a+2b=2,即a+b=1.
再根据+=+=3++≥3+2=2+2,当且仅当=时,取等号,
故+的最小值是3+2,
故选:C.
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,基本不等式的应用,属于基础题.
3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:
使用智能手机
不使用智能手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
附表:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算,则下列选项正确的是
A.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
参考答案:
A
根据附表可得k=10>7.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响,选A
4. 已知双曲线C:的左、右焦点分别是、,一条渐近线方程为,抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合,点在双曲线上.则·=( )
A. 4 B. 0 C. -1 D.-2
参考答案:
B
略
5. 下面是按一定规律排列的一列数
第1个数:;
第2个数:;
第3个数:;
……
第个数:.
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( )
A.第13个数 B.第12个数 C.第11个数 D.第10个数
参考答案:
D
略
6. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为3,数列的前项和为,则的值为 ( )
参考答案:
D
略
7. 命题:“若x2<1,则-11或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
参考答案:
A
略
8. 已知数列满足递推关系,(其中为正常数,)且.若等式成立,则正整数的所有可能取值之和为( )
A.3 B.4 C. 6 D.8
参考答案:
B
由已知有是公差为的等差数列, 是公比为的等比数列,所以 ,解得(舍去),所以,故数列中的项分别为,若满足,当或时,等式成立,当的值越大,的值就越大,此时与不可能相等,故正整数的所有可能取值之和为4,选B.
9. 在空间中,下列命题正确的是 ( )
A.两条平行直线在同一个平面之内的射影是一对平行直线
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
参考答案:
D
略
10. 将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b、c,则方程有相等实根的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与圆上任一点连线的中点轨迹方程为 ;
参考答案:
12. 将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第100项,即a100= .
参考答案:
5252
【考点】数列递推式.
【分析】根据题意,分析所给的图形可得an﹣an﹣1=n+2(n≥2),结合a1的值,可得a100=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(a100﹣a99),代入数据计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分析相邻两个图形的点数之间的关系:
a2﹣a1=4,
a3﹣a2=5,
…
由此我们可以推断:an﹣an﹣1=n+2(n≥2),
又由a1=5,
所以a100=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(a100﹣a99)=5+4+5+…+102=5+=5252;
即a100=5252;
故答案为:5252.
13. 设函数f(x)=ax+(x>1),其中a>0. 若a从1,2,3三个数中任取一个数, b从2,3,4,5四个数中任取一个数,求f(x)>b恒成立的概率 .
参考答案:
略
14. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有________种(用数字作答)。
参考答案:
140
15. 抛物线y=4x2的准线方程为 .
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先把抛物线方程整理成标准方程,进而求得p,再根据抛物线性质得出准线方程.
【解答】解:整理抛物线方程得x2=y,∴p=
∵抛物线方程开口向上,
∴准线方程是y=﹣
故答案为:.
16. 已知奇函数的图象关于直线对称,且,则 .
参考答案:
-3
17. 直线与圆相交于A、B两点,则 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3:7。求这两条曲线的方程。
参考答案:
19. (1)已知a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2),
①当x、y为何值时,a与b共线?
②是否存在实数x、y,使得a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出xy的值;若不存在,说明理由.
(2)设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,试求向量a=2m+n和b=-3m+2n的夹角.
参考答案:
(1)①∵a与b共线,
∴存在非零实数λ使得a=λb,
∴?
②由a⊥b?(2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0
?x-2y+3=0.(*)
由|a|=|b|?(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.(* *)
解(*)(* *)得或
∴xy=-1或xy=.
(2)∵m·n=|m||n|cos60°=,
∴|a|2=|2m+n|2=(2m+n)·(2m+n)=7,
|b|2=|-3m+2n|2=7,
∵a·b=(2m+n)·(-3m+2n)=-.
设a与b的夹角为θ,
∴cosθ==-,∴θ=120°.
20. 过抛物线 =4 的焦点F的一条直线与这条抛物线相交于A(,)、B(,)两点,求+的值。
参考答案:
解析:当k不存在时,直线方程为x=1, 此时=1,=-4,所以+=-3。
当k存在时,由题可得F(1,0),设直线方程为y=kx-k,代入抛物线方程消去y可得,
,=1,再把直线方程代入抛物线方程消去x可得, =-4,+=-3
21. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
(1)试求动点P的轨迹方程C.
(2)设直线与曲线C交于M、N两点,求|MN|
参考答案:
略
22. 本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
参考答案:
解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,由题意得
目标函数为.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图:
作直线,
即.
平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.
联立解得.
点的坐标为.
(元)
答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
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