2023年四川省绵阳市许州镇中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知变量x、y满足表示的平面区域为Ｍ，则Ｍ中的点P(x,y)到直线x+y=10的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
如图所示，平面区域为Ｍ是一个五边形ＡＢＣＤＥ，点ＡＢＣＤＥ分别到ｘ＋ｙ＝１０的距离是： , , ，，．综上所述，Ｍ中的点P(x,y)到直线x+y=10的距离的最大值是．
2. 等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（ ）
A．14 B．18 C．21 D．27
参考答案：
A
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6
【解答】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3
解方程可得，a1=2，d=1
∴a1a6=2×7=14
故选：A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题
3. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. －50 B. －30 C. 30 D. 50
参考答案：
B
【分析】
根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为，
故选：B．
【点睛】本题考查乘法计数原理与加法计数原理以及多项式展开式项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新3县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点，已知三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，若用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则容城应抽取的数据个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
参考答案：
C
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】利用三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，求出y，z，根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】解：∵三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，
∴，
∴y=12，z=18，
若用分层抽样抽取12个城市，则乙组中应该抽取的城市数为=4，
故选C．
5. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
6. 若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{1，2，3}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集定义求解．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，
∴A∩B={1，2}．
故选：C．
7. 若()是所在的平面内的点，且.
给出下列说法：
①；
②的最小值一定是；
③点、在一条直线上；
④向量及在向量的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）
个. 个. 个. 个.
参考答案：
A
略
8. 已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（ ）
参考答案：
A
试题分析：由题意得， ，为的零点，由图可知，，，∴的图象可由向下平移个单位得到，∵，由于，，故可知A符合题意，故选A．
考点：1、二次函数的性质；2、指数函数的图象与性质.
9. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驾马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．何日相逢，”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”现有三种说法：①驽马第九日走了93里路；②良马四日共走了930里路；③行驶5天后，良马和驽马相距615里．
那么，这3个说法里正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
【分析】据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，
驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，
依次分析3个说法：
对于①、b9=b1+（9﹣1）×d2=93，故①正确；
对于②、S4=4a1+×d1=4×193+6×13=850；故②错；
对于；③S5=5a1+10×d1 =5×193+10×13=1095，T5=5b1+10d2=580，行驶5天后，良马和驽马相距615里，正确；
故选：C
10. 已知全集U=R，，，则有( )
A. B. C. D.
参考答案：
知识点：集合的运算A1
B
解析：因为，，所以,则选B.
【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. cosxdx= ．
参考答案：
【考点】定积分．
【分析】根据积分公式直接计算即可得到结论．
【解答】解： cosxdx=sin|=，
故答案为：．
12. 设集合是A={是(0，+∞)上的增函数}， ，则= ；
参考答案：
，要使函数在上是增函数，则恒成立，即，因为，所以，即集合.集合，所以，所以.
13. 若数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn﹣2an=1，则{an}的通项公式是an= ．
参考答案：
（﹣2）n﹣1
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：3Sn﹣2an=1，n=1时，3a1﹣2a1=1，解得a1=1．
n≥2时，3Sn﹣1﹣2an﹣1=1，相减可得：an=﹣2an﹣1．
∴数列{an}是等比数列，公比为﹣2．
∴an=（﹣2）n﹣1．
故答案为：（﹣2）n﹣1．
14. 若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于 ．
参考答案：
﹣4
【考点】二阶行列式的定义；其他不等式的解法．
【分析】利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．
【解答】解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，
因为不等式的解集为（﹣1，+∞），所以a=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为 ．
参考答案：
16. 若实数、满足 且的最小值为，则实数的值为__
参考答案：
略
17. 关于x的方程有一个实数解，则实数m的取值范围是______.
参考答案：
．
【分析】
由题意可得，函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，对函数y的m分类，分别画出y的图象，可求出实数m的取值范围．
【详解】∵关于x的方程x+1有一个实数解，
故直线y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点．
在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y的图象．
由于函数y，
当m=0时，y和直线y＝x+1的图象如图：
满足有一个交点；
当m>0时，yy2﹣x2＝m(y>0)
此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，
双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，），
如图：只要m>0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，
当m<0时，yx2﹣y2＝﹣m(y>0)，
此双曲线x2﹣y2＝﹣m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，
而双曲线x2﹣y2＝﹣m的顶点坐标为（，0），如图：
当时，满足函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，
即当时符合题意；
综上：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．
参考答案：
⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，
联立：得，
恒大于，，．
∴，即在圆上．
⑵若圆过点，则
化简得解得或
①当时，圆心为，
，，
半径
则圆
②当时，圆心为，
，，
半径
则圆
19. 已知函数。
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围
参考答案：
解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax.
(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.
(ⅱ)当0
0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.
(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= .
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
(－∞, －)
(－,)
(,1)
(1,+∞)
f '(x)
＋
－
＋
＋
f(x)
↗
↘
↗
↗
f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.
(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.
(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e－ax≥1,得
f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1
20. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过点(1,1)的直线与椭圆C交于不同的两点P，Q(均异