2022年湖南省湘西市皇仓中学高一数学理联考试题含解析

2022年湖南省湘西市皇仓中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 锐角三角形中，若，分别是角所对边，则下列叙述正确的是①    ②    ③    ④  A. ①②          B. ①②③          C．③④        D．①④   参考答案： B 略 2. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞） 参考答案： C 【考点】函数单调性的性质． 【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（）， ∴2|a﹣1|＜=2． ∴|a﹣1|， 解得． 故选：C． 3. 已知集合，，则 A.            B.         C.          D. 参考答案： D 略 4. 已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，且﹣，﹣，则α+β=（　　） A． B．﹣ C．或﹣ D．﹣或 参考答案： B 【考点】两角和与差的正切函数；一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【分析】先根据韦达定理求得tanα?tnaβ和tanα+tanβ的值，进而利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，根据tanα?tnaβ＞0，tanα+tanβ＜0推断出tanα＜0，tanβ＜0，进而根据已知的α，β的范围确定α+β的范围，进而求得α+β的值． 【解答】解：依题意可知tanα+tanβ=﹣3，tanα?tnaβ=4 ∴tan（α+β）== ∵tanα?tnaβ＞0，tanα+tanβ＜0 ∴tanα＜0，tanβ＜0 ∵﹣，﹣， ∴﹣π＜α+β＜0 ∴α+β=﹣ 故选B 5. 过点(1，0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是（  ） A. x－2y－1＝0 B. x－2y＋1＝0 C. 2x＋y－2＝0 D. x＋2y－1＝0 参考答案： C 【分析】 先求出直线斜率，再根据点斜式求直线方程。 【详解】由题，两直线垂直，斜率为，又直线过点，根据点斜式可得，整理得，故选C。 【点睛】本题考查两条直线垂直时的斜率关系，和用点斜式求直线方程，属于基础题。 6. 已知f（x）=，则f [f（－2）]＝(  ). A.-1        B. 0          C. 2          D. 参考答案： 7. 下列说法正确的为（    ） A.幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点 B.均为不等于1的正实数，则 C.是偶函数 D.若，则 参考答案： C A中负指数幂不经过（0，0）点，所以错误； B中，这是换底公式，故错误； D中时，，故错误. 本题选择C选项.   8. （    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 把角及函数名称变换为可用公式的形式． 【详解】 ． 故选C． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，解题关键是把函数名称和角变换成所用公式的形式．不同的变换所用公式可能不同． 9. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（     ） A．与      B．与 C．与      D．与 参考答案： B 10. 设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】一次函数的性质与图象；函数单调性的性质． 【分析】根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1＜0，解可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数， 则2a﹣1＜0 ∴a＜ 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =_____________ ； 参考答案： 12. 如图, 在直角坐标系中,锐角内接于单位圆, 已知平行于轴, 且,记   , 则        . 参考答案： 13. 若集合为{1，a，}={0，a2，a+b}时，则a﹣b=　  　． 参考答案： ﹣1 【考点】集合的相等． 【分析】利用集合相等的概念分类讨论求出a和b的值，则答案可求． 【解答】解：由题意，b=0，a2=1 ∴a=﹣1（a=1舍去），b=0， ∴a﹣b=﹣1， 故答案为﹣1． 14. 已知由正数组成的等比数列，公比，且…， 则…=__________. 参考答案： 略 15. 在二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n的最小值为　　． 参考答案： 11 【考点】DC：二项式定理的应用． 【分析】由题意可得： =，可得：12r+7=5n，可得n为奇数．经过验证：n=1，3，…，即可得出． 【解答】解：由题意可得： =， 可得：12r+7=5n，n为奇数， 经过验证：n=1，3，…， 可得n的最小值为11． 故答案为：11． 16. 直线的倾斜角为______． 参考答案： 【分析】 先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】由于直线的斜率为－1，故倾斜角为. 【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题. 17. 函数的定义域是      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）计算下列各题： （2）2lglg49． 参考答案： 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． （2）利用对数运算法则化简求解即可． 【解答】解：（1） =0.4﹣1﹣1+﹣4+2﹣3+0.1 =﹣1++ =…  （2）2lglg49 =2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7 =2lg5+2lg2 =2 …（14分） 【点评】本题考查对数与已经在什么的运算法则的应用，考查计算能力． 19. （12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1． （1）求f（x）在区间上的最大值和最小值及此时的x的值； （2）若f（α）=，求sin（﹣4α）． 参考答案： 考点： 三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值． 分析： （1）化简可得f（x）=2sin（2x+），由x∈结合三角函数的最值可得； （2）由题意可得sin（2α+）=，由诱导公式和二倍角公式可得sin（﹣4α）=1﹣2sin2（2α+），代值计算可得． 解答： （1）化简可得f（x）=4cosxsin（x+）﹣1 =4cosx（sinx+cosx）﹣1 =sin2x+cos2x=2sin（2x+）， ∵x∈， ∴当x=﹣时，f（x）取最小值﹣1， 当x=时，f（x）取最大值2； （2）由题意f（α）=2sin（2α+）=， ∴sin（2α+）=， ∴sin（﹣4α）=sin =cos（4α+）=1﹣2sin2（2α+）= 点评： 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数公式的应用和诱导公式，属基础题． 20. 如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合． （Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC； （Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC． （Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，判断当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大， 解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到结果．解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量为，求出平面AB'C的法向量为，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点，证明设，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空间向量的距离公式求解即可． 解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角，通过就三角形即可求出即P为AB'的中点． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC， 又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC… （Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA 又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高， 又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大， … 解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC， 又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH， ∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴， ∴， 故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为… 解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB' 为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz， 设平面B'OC的法向量为，可得 设平面AB'C的法向量为，由…， 故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为：．… （Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点 证明如下：设… 又平面B'OA的法向量， 依题意得… 解得舍去）… 解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA， 所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角，… 故，，∴… 又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P为AB'的中点… 21. 已知函数的最小正周期为 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】3R：函数恒成立问题；GI：三角函数的化简求值；H4：正弦函数的定义域和值域． 【分析】（I）利用二倍角公式降次升角，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期公式求ω； （II）结合x 的范围求出表达式相位的范围，确定表达式的范围，求出最值，利用不等式恒成立确定m 的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ） = ==2分 f（x） 的最小正周期为，∴=，∴…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，5分 当 x∈时，有…7分 ∴若不等式|f（x）﹣m|＜2 在x∈上恒成立， 则有﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2 在x∈上恒成立，…9分 ∴（f（x）﹣2）max＜m＜（f（x）+2）min， f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2…11分 ∴0＜m＜1…12分 22. 已知||=1，||=，与的夹角为θ． （1）若∥，求?； （2）若﹣与垂直，求θ． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】（1）利用向量共线直接写出夹角，然后利用向量的数量积求解即可． （2）