2023年湖南省湘潭市翻江镇岑塘中学高二数学文联考试卷含解析

2023年湖南省湘潭市翻江镇岑塘中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，，  则（  ） A.         B.            C.             D. 参考答案： B 略 2. （5分）“x=1”是“x2﹣1=0”的（　　） 　 A．充要条件 B． 必要不充分条件 　 C．既非充分也非必要条件 D． 充分不必要条件 参考答案： D 3. 已知圆C：，直线 ，圆上只有两个点到直线的距离为1，则k的取值范 （       ）         A．     B．    C．  D． 参考答案： C 4. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率 的值． 【解答】解：由题意可得 cos60°==， ∴椭圆的离心率是  =， 故选 B． 5. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有（　　） 　 A． 12 B． 14 C． 15 D． 16 参考答案： B 略 6. 已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1 参考答案： A 【考点】对数函数的单调性与特殊点． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】不妨令a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论． 【解答】解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确， 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题． 7. 在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则=（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣3 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用中线的性质表示出向量与，求出它们的数量积即可． 【解答】解：如图所示， 棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点， 则=（+）?（+） =（?+?+?+?） =（2×2×cos120°+2×2×2×cos90°+2×2×2×cos180°+2×2×cos120°） =﹣3． 故选：D． 8. 设为正整数，经计算得，，观察上述结果，可推测出一般结论(  )                                       A．  B.     C.   D. 参考答案： C 9. 在正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则点的轨迹是（    ） A．圆        B．椭圆      C．双曲线       D．抛物线 参考答案： A 10. 为得到的图像，只需将的图像     （     ） A  左移     B 右移     C  左移       D 右移 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 中的满足约束条件则的最小值是     参考答案： 12. 函数的定义域是           ▲    . 参考答案： 13.  四棱锥的三视图如右图所示,四棱锥 的五个顶点都在一个球面上，、分 别是棱、的中点，直线被球面所截得 的线段长为，则该球表面积为       . 参考答案： 14. 直线l1: x-2y+3=0， l2: 2x-y-3=0， 动圆C与l1、l2都相交， 并且l1、l2被圆截得的线段长分别是 20和16， 则圆心C的轨迹方程是                           参考答案： 略 15. 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值. 参考答案： 解：∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数， 所以a＝1，b＝0， 于是f(x)＝x3－27x，f′(x)＝3x2－27.(4分) ∴当x∈(－3,3)时，f′(x)<0；当x∈(－4，－3)和(3,5)时，f′(x)>0. 又∵函数f(x)在[－4,5]上连续. ∴f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分) 略 16. 已知函数f (x)＝ln(2x－1)，则f ′(x)＝   ▲     ． 参考答案： 略 17. 已知复数z满足，则的值为       . 参考答案： 10 设，则． ∵， ∴， ∴，解得． ∴， ∴．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，分别为角所对的边长，已知的周长为，，且的面积为. （1）求边的长；  （2）求的值． 参考答案： 解: （1）因为的周长为，所以． 又，由正弦定理得． 两式相减，得． （2）由于的面积，得， 由余弦定理得 ， 又，所以． 故 另解：由（1）得，又， 所以     在中，作于，则， 所以 故 略 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，，，BC=1，E，分别为A1C1，BC的中点. （1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； （2）求证：在棱AC上存在一点M，使得平面C1FM∥平面ABE； （3）求三棱锥的体积．     参考答案： （1）由侧棱垂直于底面，平面，得，又， 点，所以平面，从而平面平面； （2）取中点，连接，，由为的中点，知， 平面，得平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 则，平面，得平面，而点， 平面平面，即存在中点，使得平面平面； （3）点到底面的距离即为侧棱长，在中，，，，所以，， 所以. 20. （本小题满分12分） 已知点是圆上的动点. （Ⅰ）求的取值范围；高 考 资 源 网 （Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.       参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅰ）设圆的参数方程为 ， .   （Ⅱ）， 21. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），椭圆C的离心率e=． （1）求椭圆C的方程； （2）△ABC的三个顶点都在椭圆上，且△ABC的重心是原点O，证明：△ABC的面积是定值． 参考答案： 解：（1）由已知可得：，，     ∴，…………………………………2分     又由已知得：，∴，     ∴椭圆的方程为，……………………………………………………………5分    （2）设、、，则因重心是原点可得：     ，     ∴，………………………………………………………6分     当直线的斜率不存在时，或，此时………………………………………7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由可得：， ∴……………………………………………………8分 ∴ ∵在椭圆上，∴ ∴，， ∴，……………………………………………………………………………10分 而 点到直线的距离是 ∴ 综上所述，的面积是定值．…………………………………………………………13分 (注: 以上改为)  略 22. 已知数列{an}的首项，Sn是数列{an}的前n项和，且满足． （1）若数列{an}是等差数列，求a的值； （2）确定a的取值集合M，使时，数列{an}是递增数列． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）分别令，及，结合已知可由表示，，结合等差数列的性质可求； （2）由，得，化简整理可得进而有，则，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求的范围. 【详解】（1）在中分别令，及得 ， 因为，所以，． 因为数列是等差数列，所以，即，解得． 经检验时，，，满足． （2）由，得，即， 即，因为，所以，①  所以，② ②－①，得．③ 所以，④ ④－③，得 即数列及数列都是公差为6的等差数列， 因为． 所以 要使数列是递增数列，须有，且当为大于或等于3的奇数时，， 且当为偶数时，，即， （n为大于或等于3的奇数）， （n为偶数）， 解得． 所以，当时，数列是递增数列． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于数列的综合应用，求出的通项公式是解本题的关键.